P4755 Beautiful Pair （数据结构+分治）

Posted 2021-09-20 昵称很长很长真是太好了

题意：
小D有个数列a ，当一个数对$(i,j)(i\le j)$满足 $a_i$和 $a_j$ 的积不大于 $a_i,a_{i+1},.........,a_j$中的最大值时，小D认为这个数对是美丽的.请你求出美丽的数对的数量。
$n\le 1e5$
$a_i\le 1e9$
有人推荐笛卡尔树的练习题？但是怎么也想不到用笛卡尔树做…
跟在笛卡尔树上分治一样…只不过ST表换成了笛卡尔树
题解：
分治+主席树+ST表

每次找出区间$[l,r]$之间最大值的下标$mid$（ST表查找即可）
然后枚举$l到mid$的每个数，每次区间询问mid到r之间数小于等于$\lfloor \frac{a_{mid}}{a_i}\rfloor$
但是我们会发现，极端情况下会被卡成$O(n^{2}lo{g}^{2}n)$
那么我们借用启发式的思想，每次去枚举区间长度小的那一半，查询大的一半即可。
为什么这样做是正确的呢？
这其实就相当于枚举了每一个点，进行查询，并且不会出现重复的情况。
比如说当前查找的区间为$[l,r]$,查询出来的数对数量是跨过mid的数对数量，下一个查询的区间就是$[l,mid-1],[mid+1,r]$这两个小区间了，因为这两个小区间根本不会存在跨过mid的数对，那个大区间也不存在不跨过的数对，所以不存在重复的情况。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define endl '\\n'
using namespace std;

const int maxn=1e5+10;

int a[maxn],ans;
int sum[maxn*50];
int lc[maxn*50],rc[maxn*50];
int rt[maxn],cnt,n,p;

void update(int &node,int start,int ends,int lst,int pos){
    node=++cnt;
    lc[node]=lc[lst];
    rc[node]=rc[lst];
    sum[node]=sum[lst]+1;
    if(start==ends) return ;
    int mid=(start+ends)/2;
    if(pos<=mid) update(lc[node],start,mid,lc[lst],pos);
    else update(rc[node],mid+1,ends,rc[lst],pos);
}
int query(int start,int ends,int l,int r,int x,int y){
    if(l<=start&&ends<=r){
        return sum[y]-sum[x];
    }
    int mid=(start+ends)>>1;
    int ans=0;
    if(l<=mid) ans+=query(start,mid,l,r,lc[x],lc[y]);
    if(mid<r) ans+=query(mid+1,ends,l,r,rc[x],rc[y]);
    return ans;
}

int stmax[maxn][21];
int mn[maxn];

int stcmpmax(int x,int y){
	return a[x]>a[y]?x:y;
}

void init(){
    mn[0]=-1;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        mn[i]=((i & (i-1))==0) ? mn[i-1]+1 : mn[i-1];
        stmax[i][0]=i;
    }
    for (int j=1;j<=mn[n];j++)
        for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
        {
            stmax[i][j]=stcmpmax(stmax[i][j-1],stmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
}
int rmq_max(int L,int R)
{
    int k=mn[R-L+1];
    return stcmpmax(stmax[L][k],stmax[R-(1<<k)+1][k]);
}


void divide(int l,int r){
    if(r<l) return ;
    if(l==r){
        if(a[l]==1) ans++;
        //cout<<"debug  "<<a[l]<<endl;
        return ;
    }
    int pre=ans;
    int mid=rmq_max(l,r);
    //cout<<"debug  "<<mid<<endl;
    if(mid-l<r-mid){
        for(int i=l;i<=mid;i++){
            int nowx=a[mid]/a[i];
            ans+=query(1,p,1,nowx,rt[mid-1],rt[r]);
        }
    }
    else{
        for(int i=mid;i<=r;i++){
            int nowx=a[mid]/a[i];
            ans+=query(1,p,1,nowx,rt[l-1],rt[mid]);
        }
    }
    //cout<<"debug  "<<l<<" "<<r<<" "<<mid<<" "<<ans-pre<<endl;
    divide(l,mid-1);
    divide(mid+1,r);
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        p=max(p,a[i]);
    }
    init();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        update(rt[i],1,p,rt[i-1],a[i]);
    }

    divide(1,n);
    cout<<ans<<endl;
}