数学建模暑期集训23：模拟退火算法

Posted 2021-09-10 Z|Star

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数学建模暑期集训23：模拟退火算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

模拟退火算法类属

和粒子群算法一样，模拟退火算法也属于启发式算法的一种。
启发式算法，可参照下面的定义。
启发式算法：在搜索最优解的过程中利用到了原来搜索过程中得到的信息，且这个信息会改进我们的搜索过程。

爬山法

模拟退火算法，可以算一种优化过的爬山法。

爬山法比较好理解，首先在函数图上随机选取一个点，之后再其左边或右边各选一点，若比该点大，则以大的点继续选择，整个过程类似于爬山。
问题在于，当爬到小山峰的时候，无法继续爬，这就导致陷入局部最优解。

模拟退火算法流程

模拟退火在爬山法的基础上，结合蒙特卡洛的思想，整个流程如下：

${C_t}$ 的设置

在上面的算法流程中， ${C_t}$ 并没有具体设置， ${C_t}$ 控制是搜索范围，当 ${C_t}$ 越大时，接受B的概率越小，即目标点越不容易动。
因此， ${C_t}$ 是关于t的递增函数，这样就使前期尽可能地在全局搜索，这样就会防止陷入局部最优解；后期减小搜索范围，提高搜索速度。（可以理解为渣男思想：前期广撒网，后期精确突击）

${C_t}$ 的设置，模拟的是退火原理。

引入 ${C_t}$ 后的模拟退火算法流程

在定义好 ${C_t}$ 的表达式之后，可以将模拟退火算法的流程进行补充。

算法循环可以设置为2层，即第一次在高温t的情况下进行遍历，之后逐渐降低温度t，也就是改变 ${C_t}$ ，再次遍历。

例题1：求给定函数的最大值或者最小值

目标函数Obj_fun1

function y = Obj_fun1(x)
    y = 11*sin(x) + 7*cos(5*x);
end

模拟退火（含动画演示）

%% SA 模拟退火: 求解函数y = 11*sin(x) + 7*cos(5*x)在[-3,3]内的最大值(动画演示）
tic
clear; clc

%% 绘制函数的图形
x = -3:0.1:3;
y = 11*sin(x) + 7*cos(5*x);
figure
plot(x,y,'b-')
hold on  % 不关闭图形，继续在上面画图

%% 参数初始化
narvs = 1; % 变量个数
T0 = 100;   % 初始温度
T = T0; % 迭代中温度会发生改变，第一次迭代时温度就是T0
maxgen = 200;  % 最大迭代次数
Lk = 100;  % 每个温度下的迭代次数
alfa = 0.95;  % 温度衰减系数
x_lb = -3; % x的下界
x_ub = 3; % x的上界

%%  随机生成一个初始解
x0 = zeros(1,narvs);
for i = 1: narvs
    x0(i) = x_lb(i) + (x_ub(i)-x_lb(i))*rand(1);    
end
y0 = Obj_fun1(x0); % 计算当前解的函数值
h = scatter(x0,y0,'*r');  % scatter是绘制二维散点图的函数（这里返回h是为了得到图形的句柄，未来我们对其位置进行更新）

%% 定义一些保存中间过程的量，方便输出结果和画图
max_y = y0;     % 初始化找到的最佳的解对应的函数值为y0
MAXY = zeros(maxgen,1); % 记录每一次外层循环结束后找到的max_y (方便画图）

%% 模拟退火过程
for iter = 1 : maxgen  % 外循环, 我这里采用的是指定最大迭代次数
    for i = 1 : Lk  % 内循环，在每个温度下开始迭代
        y = randn(1,narvs);  % 生成1行narvs列的N(0,1)随机数
        z = y / sqrt(sum(y.^2)); % 根据新解的产生规则计算z
        x_new = x0 + z*T; % 根据新解的产生规则计算x_new的值
        % 如果这个新解的位置超出了定义域，就对其进行调整
        for j = 1: narvs
            if x_new(j) < x_lb(j)
                r = rand(1);
                x_new(j) = r*x_lb(j)+(1-r)*x0(j);
            elseif x_new(j) > x_ub(j)
                r = rand(1);
                x_new(j) = r*x_ub(j)+(1-r)*x0(j);
            end
        end
        x1 = x_new;    % 将调整后的x_new赋值给新解x1
        y1 = Obj_fun1(x1);  % 计算新解的函数值
        if y1 > y0    % 如果新解函数值大于当前解的函数值
            x0 = x1; % 更新当前解为新解
            y0 = y1;
        else
            p = exp(-(y0 - y1)/T); % 根据Metropolis准则计算一个概率
            if rand(1) < p   % 生成一个随机数和这个概率比较，如果该随机数小于这个概率
                x0 = x1; % 更新当前解为新解
                y0 = y1;
            end
        end
        % 判断是否要更新找到的最佳的解
        if y0 > max_y  % 如果当前解更好，则对其进行更新
            max_y = y0;  % 更新最大的y
            best_x = x0;  % 更新找到的最好的x
        end
    end
    MAXY(iter) = max_y; % 保存本轮外循环结束后找到的最大的y
    T = alfa*T;   % 温度下降
    pause(0.01)  % 暂停一段时间(单位：秒)后再接着画图
    h.XData = x0;  % 更新散点图句柄的x轴的数据（此时解的位置在图上发生了变化）
    h.YData = Obj_fun1(x0); % 更新散点图句柄的y轴的数据（此时解的位置在图上发生了变化）
end

disp('最佳的位置是：'); disp(best_x)
disp('此时最优值是：'); disp(max_y)

pause(0.5)
h.XData = [];  h.YData = [];  % 将原来的散点删除
scatter(best_x,max_y,'*r');  % 在最大值处重新标上散点
title(['模拟退火找到的最大值为', num2str(max_y)])  % 加上图的标题

%% 画出每次迭代后找到的最大y的图形
figure
plot(1:maxgen,MAXY,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('y的值');
toc

例题2：旅行商问题

tic
rng('shuffle')  % 控制随机数的生成，否则每次打开matlab得到的结果都一样
% https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/math/why-do-random-numbers-repeat-after-startup.html
% https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/rng.html
clear;clc
% 38个城市，TSP数据集网站(http://www.tsp.gatech.edu/world/djtour.html) 上公测的最优结果6656。
coord = [11003.611100,42102.500000;11108.611100,42373.888900;11133.333300,42885.833300;11155.833300,42712.500000;11183.333300,42933.333300;11297.500000,42853.333300;11310.277800,42929.444400;11416.666700,42983.333300;11423.888900,43000.277800;11438.333300,42057.222200;11461.111100,43252.777800;11485.555600,43187.222200;11503.055600,42855.277800;11511.388900,42106.388900;11522.222200,42841.944400;11569.444400,43136.666700;11583.333300,43150.000000;11595.000000,43148.055600;11600.000000,43150.000000;11690.555600,42686.666700;11715.833300,41836.111100;11751.111100,42814.444400;11770.277800,42651.944400;11785.277800,42884.444400;11822.777800,42673.611100;11846.944400,42660.555600;11963.055600,43290.555600;11973.055600,43026.111100;12058.333300,42195.555600;12149.444400,42477.500000;12286.944400,43355.555600;12300.000000,42433.333300;12355.833300,43156.388900;12363.333300,43189.166700;12372.777800,42711.388900;12386.666700,43334.722200;12421.666700,42895.555600;12645.000000,42973.333300];
n = size(coord,1);  % 城市的数目


figure  % 新建一个图形窗口
plot(coord(:,1),coord(:,2),'o');   % 画出城市的分布散点图
hold on % 等一下要接着在这个图形上画图的

d = zeros(n);   % 初始化两个城市的距离矩阵全为0
for i = 2:n  
    for j = 1:i  
        coord_i = coord(i,:);   x_i = coord_i(1);     y_i = coord_i(2);  % 城市i的横坐标为x_i，纵坐标为y_i
        coord_j = coord(j,:);   x_j = coord_j(1);     y_j = coord_j(2);  % 城市j的横坐标为x_j，纵坐标为y_j
        d(i,j) = sqrt((x_i-x_j)^2 + (y_i-y_j)^2);   % 计算城市i和j的距离
    end
end
d = d+d';   % 生成距离矩阵的对称的一面


%% 参数初始化
T0 = 1000;   % 初始温度
T = T0; % 迭代中温度会发生改变，第一次迭代时温度就是T0
maxgen = 1000;  % 最大迭代次数
Lk = 500;  % 每个温度下的迭代次数
alpfa = 0.95;  % 温度衰减系数

%%  随机生成一个初始解
path0 = randperm(n);  % 生成一个1-n的随机打乱的序列作为初始的路径
result0 = calculate_tsp_d(path0,d); % 调用我们自己写的calculate_tsp_d函数计算当前路径的距离

%% 定义一些保存中间过程的量，方便输出结果和画图
min_result = result0;     % 初始化找到的最佳的解对应的距离为result0
RESULT = zeros(maxgen,1); % 记录每一次外层循环结束后找到的min_result (方便画图）

%% 模拟退火过程
for iter = 1 : maxgen  % 外循环, 我这里采用的是指定最大迭代次数
    for i = 1 : Lk  %  内循环，在每个温度下开始迭代
        path1 = gen_new_path(path0);  % 调用我们自己写的gen_new_path函数生成新的路径
        result1 = calculate_tsp_d(path1,d); % 计算新路径的距离
        %如果新解距离短，则直接把新解的值赋值给原来的解
        if result1 < result0    
            path0 = path1; % 更新当前路径为新路径
            result0 = result1; 
        else
            p = exp(-(result1 - result0)/T); % 根据Metropolis准则计算一个概率
            if rand(1) < p   % 生成一个随机数和这个概率比较，如果该随机数小于这个概率
                path0 = path1;  % 更新当前路径为新路径
                result0 = result1; 
            end
        end
        % 判断是否要更新找到的最佳的解
        if result0 < min_result  % 如果当前解更好，则对其进行更新
            min_result = result0;  % 更新最小的距离
            best_path = path0;  % 更新找到的最短路径
        end
    end
    RESULT(iter) = min_result; % 保存本轮外循环结束后找到的最小距离
    T = alpfa*T;   % 温度下降       
end


disp('最佳的方案是：'); disp(mat2str(best_path))
disp('此时最优值是：'); disp(min_result)


best_path = [best_path,best_path(1)];   % 在最短路径的最后面加上一个元素，即第一个点（我们要生成一个封闭的图形）
n = n+1;  % 城市的个数加一个（紧随着上一步）
for i = 1:n-1 
    j = i+1;
    coord_i = coord(best_path(i),:);   x_i = coord_i(1);     y_i = coord_i(2); 
    coord_j = coord(best_path(j),:);   x_j = coord_j(1);     y_j = coord_j(2);
    plot([x_i,x_j],[y_i,y_j],'-b')    % 每两个点就作出一条线段，直到所有的城市都走完
%     pause(0.02)  % 暂停0.02s再画下一条线段
    hold on
end

%% 画出每次迭代后找到的最短路径的图形
figure
plot(1:maxgen,RESULT,'b-');
xlabel('迭代次数');
ylabel('最短路径');

toc