P2216 [HAOI2007] 理想的正方形（单调队列）

Posted 2021-09-10 li_wen_zhuo

题目描述

有一个a * b的整数组成的矩阵，现请你从中找出一个n * n的正方形区域，使得该区域所有数中的最大值和最小值的差最小。

输入格式

第一行为3个整数，分别表示a,b,n的值
第二行至第a+1行每行为b个非负整数，表示矩阵中相应位置上的数。每行相邻两数之间用一空格分隔。

输出格式

仅一个整数，为ab矩阵中所有“nn正方形区域中的最大整数和最小整数的差值”的最小值。

样例

输入 #1 复制
5 4 2
1 2 5 6
0 17 16 0
16 17 2 1
2 10 2 1
1 2 2 2
输出 #1 复制
1

说明/提示

问题规模
（1）矩阵中的所有数都不超过1,000,000,000
（2）20%的数据2<=a,b<=100,n<=a,n<=b,n<=10
（3）100%的数据2<=a,b<=1000,n<=a,n<=b,n<=100

题目分析

这道题看似比较复杂，要求出每个n * n的二维区间的最大值和最小值。我们可以通过求两次单调队列的方法获得答案：
设x[i][j] //表示第i行中j到j+n-1区间中的最小值，X[i][j] //表示第i行中j到j+n-1区间中的最大值。这样我们可以用单调队列在O(a * b)的复杂度内求出这两个数组。

然后在x[][]和X[][]上求出y[i][j] //表示第j列中i到i+n-1区间中的最小值，Y[i][j] //表示第j列中i到i+n-1区间中的最大值。这样求出的y[i][j]，就表示矩阵[i,i+n-1][j,j+n-1]中的最小值了（Y[][]同理）。

代码如下

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define PDD pair<double,double>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e3+5,INF=1e9;
int m[N][N],q[N],Q[N];
int x[N][N],X[N][N];
int y[N][N],Y[N][N]; 
int main()
{
	cin.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(false); 
	int n,a,b;
	cin>>a>>b>>n;
	for(int i=1;i<=a;i++)
		for(int j=1;j<=b;j++)
			cin>>m[i][j];
	
	for(int i=1;i<=a;i++)
	{
		int h,t,H,T;
		h=t=H=T=q[1]=Q[1]=1;			//初始化
		for(int j=2;j<=b;j++)			//单调队列求出最大值和最小值
		{
			while(h<=t&&m[i][q[t]]>=m[i][j]) t--;
			while(H<=T&&m[i][Q[T]]<=m[i][j]) T--;
			q[++t]=j,Q[++T]=j;
			if(j-q[h]>=n) h++;
			if(j-Q[H]>=n) H++;
			if(j>=n) x[i][j-n+1]=m[i][q[h]],X[i][j-n+1]=m[i][Q[H]];		//将答案记录到x[][]和X[][]中
		}
	}
	for(int j=1;j<=b-n+1;j++)
	{
		int h,t,H,T;
		h=t=H=T=q[1]=Q[1]=1;			//初始化
		for(int i=2;i<=a;i++)			//在x[][]的基础上，用单调队列按列求出最小值数组y[][]（Y同理）
		{
			while(h<=t&&x[q[t]][j]>=x[i][j]) t--;
			while(H<=T&&X[Q[T]][j]<=X[i][j]) T--;
			q[++t]=i,Q[++T]=i;
			if(i-q[h]>=n) h++;
			if(i-Q[H]>=n) H++;
			if(i>=n) y[i-n+1][j]=x[q[h]][j],Y[i-n+1][j]=X[Q[H]][j];
		}
	}
	int ans=INF;
	for(int i=1;i<=a-n+1;i++)				//枚举每一个矩阵最值，求出差值的最小值
		for(int j=1;j<=b-n+1;j++)
			ans=min(ans,Y[i][j]-y[i][j]);
			
	cout<<ans<<endl; 
    return 0;
}