欧拉筛（最优的方法，对于找质数，细节讲解）

Posted 2021-09-09 胜神明半子

前言：最优的找质数方法，欧拉筛，看过无数博主的讲解，许多博主还是没有抓到新手的疑惑点，今天在我自身花费了一天时间不断的证明和思考，总结出来了一篇给新手的最细讲解！！！

欧拉筛

结合代码进行精准解析。

#include<iostream>
using namespace std;
bool a[100001]={1,1};//i=0,i=1的时候都不是质数 ，所以直接标记
int b[100001];//存质数 
int k;	long long n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=2;i<=100001;i++)//这个意思是在100001里面找到质数并且标记 ，质数最小是2，所以i=2 
	{
		if (a[i]==0)	b[++k]=i;	//如果没有被标记为1，就是质数。我接下来会讲解为什么是质数。 
		for(int j=1;j<=k;j++)// //j小于当前所有的质数的个数
		{
			if(i*b[j]>100001)break;// 如果超出给出的范围，那么就退出循环 
			a[i*b[j]]=1;//用质数数依次×i，结果标记为合数（也就是标记为1）。 
			if(i%b[j]==0)break;//最关键的只标记一次 
		}	
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) //你想查询的个数 
	{int m;
		cin>>m;//在100001里面输入你想查询的数
		if(a[m]==0)//如果没有被标记，就是质数，直接输出。 
		{
			cout<<m<<' ';
		}		
	}	
 } 

 1.欧拉筛和埃氏筛法的相爱相杀。（通过上面的代码我们进行打表解析）

 欧拉筛法的时间是埃氏筛法时间的十分之一甚至更少，为什么呢？

我们顺着源头思考，欧拉筛法和埃氏筛法一样，围绕{素数的倍数不是素数}，

那么为什么欧拉筛比埃氏筛法效率快这么多？

欧拉筛法时间复杂度少的原因，就是它不会重复标记一个数是不是素数的倍数，例如：i = 4 ，j = 1，b[j] = 2，如果不跳出循环，b[j+1] = 3，4 * 3 = 2 * 6 = 12，在i = 6时会计算。（我打了个表，为了方便你理解）因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。我们可以打个表观察。欧拉筛运行打印出来的结果

i= 2//当i取2时 
j =1 b[1] = 2 i*b[j] = 4

i =3//当i取3时 
j=1 b[1] = 2 i*b[j] =6
j=2 b[2] = 3 i*b[j] = 9

i=4//当i取4时 
j=1 b[1] = 2 i*b[j] = 8//上面提到为什么退出循环，因为如果不退出循环，就会标记一次12，所以不行
i=5//当i取5时 
j=1 b[1] = 2 i*b[j] = 10
j=2 b[2] = 3  i*b[j ]=15
j=3 b[3] = 5 i*b[j] = 25

i=6//当i取6时 
j=1 b[1] = 2 i*b[j] =12//这里已经标记了12了。

i=7//当i取7时 
j=1 b[1] = 2 i*b[j] = 14
j=2 b[1] = 3 i*b[j] = 21
j=3 b[1] = 5 i*b[j] = 35
j=4 b[1] = 7 i*b[j] = 49

这个时候我们就会发现规律当i为偶数的时候只有标记一个值就是每次都是b[1]=2,b[1]*i=某个数，并且标记，但是当i为奇数的时候，我们则可以把所有符合的数的标记了，而不会中途退出循环，我们通过这个表可以观察，这里把2，3，5，7，11……的素数的倍数都打印出来并且标记了，在通过        if(i%b[j]==0)break;//最关键的只标记一次 ，这步，只进行一次标记，不会重复标记。

最后，如果还有地方不懂可以私信问我，我是一个热情和蔼的博主。