Seat

Posted 2021-09-06 Tan_tan_tann

Seat

题解

我们可以先将男性位置的顺序去掉，单看成$1,2,3,4,...,n$的序列，先考虑女性的位置该怎么插，最后再加入男性的顺序。
很明显，对于$i$与$i+1$位置之间的女性，她既不能为$i$也不能为$i+1$。女性也看成一个序列$P$，那么$P_i\ne i\wedge P_i\ne i+1$。
这不是Three Permutations吗，要让找一个排列与其它两个排列都不同，转化成图就是一个在大小为$n$的环。
所以我们只要$DP$后加个容斥就可以得到$70pts$了。
这个做法同样给了我们一个提示，我们可以用容斥的方法求出答案。

我们考虑有$x$个位置不合法的情况可以怎么计算。
我们可以先枚举不合法的位置，除了这些不合法的位置，其它的男女都是随便放的，也就是$((n-x)!{)}^2$。
而这些不合法的位置肯定有相对的顺序，乘上$x!$。
最后还要将这些不合法的位置放回排列中，我们相当于在$2n-x$个元素中任选$x$个，让这$x$个延伸一位，表示一个不合法对占据的两位，有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-x}{x}\right)$。
所以有$x$个位置不合法的情况就有$((n-x)!{)}^{2}x!(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-x}{x})$种，可以用容斥得到最后的答案，
$$Ans=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i((n-i)!{)}^{2}i!\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-i}{i}\right)$$

时间复杂度$O\left(n\right)$。

源码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const LL INF=1000000000000000000LL;
const int mo=998244353;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int lim=100000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-7;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,fac[MAXN],inv[MAXN],f[MAXN],ans;
void init(){
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n+n;i++)
		fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mo,
		f[i]=1ll*(mo-mo/i)*f[mo%i]%mo,
		inv[i]=1ll*f[i]*inv[i-1]%mo;
}
int C(int x,int y){
	if(x<0||y<0||x<y)return 0;
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%mo*inv[x-y]%mo;
}
signed main(){
	read(n);init();
	for(int i=0;i<=n;i++){
		int tmp=1ll*fac[n-i]*fac[n-i]%mo*fac[i]%mo*add(C(n+n-i,i),C(n+n-i-1,i-1),mo)%mo*C(n,i)%mo;
		if(i&1)ans=add(ans,mo-tmp,mo);else ans=add(ans,tmp,mo);	
	} 
	printf("%d\\n",1ll*ans*f[n]%mo);
	return 0;
}

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