组合数学入门笔记

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了组合数学入门笔记相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

组合数学属于离散数学里一个大分支,内容很多,本篇博客只记录学习最基础的组合数学模版。)因为我超菜的ಠ_ರೃ

一、运用递推预处理组合数

C a b = C a − 1 b + C a − 1 b − 1 C_{a}^{b}=C_{a-1}^{b}+C_{a-1}^{b-1} Cab=Ca1b+Ca1b1

有了这个公式,发现任何一个组合数都可以由更小的组合数递推得到,如果范围不太大可以考虑预处理。

代码实现:

ll C[2010][2010];
const int mod=1e9+7;
int main(){
    for(int i=0;i<=2000;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            if(!j) C[i][j]=1;
            else C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<C[a][b]<<endl;
    }
}

二、预处理阶乘以及阶乘的逆元

C a b = a ! ( a − b ) ! b ! C_{a}^{b}=\\frac{a!}{(a-b)!b!} Cab=(ab)!b!a!

由组合数定义式直接算出,考虑预处理阶乘。

代码实现:

const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+7;

ll fc[maxn],infc[maxn];

ll qmi(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1){
            res=res*a%mod;
        }
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return res;
}
int main(){
    //预处理
    fc[0]=infc[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        fc[i]=fc[i-1]*i%mod;
        infc[i]=infc[i-1]*qmi(i,mod-2)%mod;
    }
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<(fc[a]*infc[a-b]%mod)*infc[b]%mod<<endl;
    }
}

三、Lucas定理

暂时还不会诶嘿嘿。。

以上是关于组合数学入门笔记的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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