组合数学入门笔记

Posted 2022-12-02 KaaaterinaX

组合数学属于离散数学里一个大分支，内容很多，本篇博客只记录学习最基础的组合数学模版。）因为我超菜的ಠ_ರೃ

一、运用递推预处理组合数

$C_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}$

有了这个公式，发现任何一个组合数都可以由更小的组合数递推得到，如果范围不太大可以考虑预处理。

代码实现：

ll C[2010][2010];
const int mod=1e9+7;
int main()
    for(int i=0;i<=2000;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
            if(!j) C[i][j]=1;
            else C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
        
    
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<C[a][b]<<endl;
    

二、预处理阶乘以及阶乘的逆元

$C_a^b=\frac{a!}{(a-b)!b!}$

由组合数定义式直接算出，考虑预处理阶乘。

代码实现：

const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+7;

ll fc[maxn],infc[maxn];

ll qmi(ll a,ll b)
    ll res=1;
    while(b)
        if(b&1)
            res=res*a%mod;
        
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    
    return res;

int main()
    //预处理
    fc[0]=infc[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++)
        fc[i]=fc[i-1]*i%mod;
        infc[i]=infc[i-1]*qmi(i,mod-2)%mod;
    
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<(fc[a]*infc[a-b]%mod)*infc[b]%mod<<endl;
    

三、Lucas定理

暂时还不会诶嘿嘿。。