[数学推导] aw3782. 点(推公式+数学推导+数学证明+CF76E)

Posted 2021-08-30 Ypuyu

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• • 1. 题目来源
  • 2. 题目解析

1. 题目来源

链接：3782. 点

2. 题目解析

两点之间距离，为了不重复计算，给每个点编号，并定义其有序性。然后发现，x 和 y 完全可以独立计算。然后推公式即可，公式中有重要的优化需要谨记。

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但其实，从分析的角度上来考虑，单独考虑一个点与其它所有点的所得贡献。

• 两两组队，每个 x^2 出现 n-1 次是显然的。简单画个图，列举情况就懂了。故当前点 x^2 贡献了 (n-1)*x[i]*x[i] 次，将平方的总贡献累加即可。
• 同理其中出现的 2x1*x2 的情况，固定一个 x1，那么有 n-1 个 xi 将于 x1 配对，提取公因式的话，就是除过 x1 的所有数均要与 x1 相乘，这个维护一个总数，减去当前数 x1 即可得到。
• 同时，2x1*x2 的部分，其实是被计算了两次，即在考虑 x1 点时，考虑了其它各点，在考虑其它各点时，又考虑了 x1 这个点，所以是重复计算了一次，除 2 就行了。
• 也可以用笔记中的，将 2x1*x2 这部分的有序性消除，变成 xi*xj 无序，即可。

或者说，我们在考虑 (x1,y1) 点时，仅考虑这个点所带来的贡献，即它在所有的配对中，一共贡献了 n-1 个 x1*x1，n-1 个 y1*y1，在 2x1*x2 这个部分，这其实是由两个点所带来的，我们仅取和自己相关的一部分，即仅计算一个 x1*x2。

好好理解就行，理解不了就直接上数学公式就行了。

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时间复杂度：$O(n)$

空间复杂度：$O(n)$

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完美的数学公式推导

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5+5;

int n;
int x[N], y[N];

LL cal(int x[]) {
    LL s1 = 0, s2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) s1 += x[i] * x[i], s2 += x[i];
    
    return (n - 1) * s1 - (s2 * s2 - s1);
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> x[i] >> y[i];
    cout << cal(x) + cal(y) << endl;
    
    return 0;
}

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形象化的计算，考虑每个点的贡献：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5+5;

int n;
int x[N], y[N];

int main() {
    cin >> n;
    LL s1 = 0, s2 = 0;
    LL res1 = 0, res2 = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> x[i] >> y[i], s1 += x[i], s2 += y[i];
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        res1 += 1ll * (n - 1) * x[i] * x[i] - x[i] * (s1 - x[i]);   // 在此可以不用乘2，2x1*x2 本身就重复计算了一次
        res2 += 1ll * (n - 1) * y[i] * y[i] - y[i] * (s2 - y[i]);
    }
    cout << res1 + res2 << endl;
    
    return 0;
}