图的基本概念以及特殊形态的图（C语言）

Posted 2021-08-30 bfhonor

一、图的基本概念

（一）图的定义

• 图G由顶点集V和边集E组成，记为G = (V, E)，其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；
• E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合。
• 若V = {v1, v2, … , vn}，则用|V|表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，E = {(u, v) | uÎ∈V, v∈V}，用|E|表示图G中边的条数。
• 注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集
  

（二）无向图、有向图

• 若E是无向边（简称边）的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为（v，w）或（w， v），因为 （v，w） = （w， v） ，其中v、w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻接点。边(v, w)依附于顶点w和v，或者说边(v, w)和顶点v、w相关联。
• G2 = (V2, E2)
• V2 = {A, B, C, D, E}
• E2 = {(A, B), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}
  
• 若E是有向边（也称弧）的有限集合时，则图G为有向图。
• 弧是顶点的有序对，记为<v，w>，其中v、w是顶点，v称为弧尾"，w称为弧头，<v, w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。 <v，w> ≠ <w， v>
• G1 = (V1, E1)
• V1 = {A, B, C, D, E}
• E1 = {<A, B>, <A, C>, <A, D>, <A, E>, <B, A>, <B, C>, <B, E>, <C, D>}

（三）简单图、多重图

（四）顶点的度、入度、出度

• 对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。
• 在具有n个顶点、e条边的无向图中，
  
• 即无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍
  
• 对于有向图：
  ①、入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；
  ②、出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。
  ③、顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v) = ID(v) + OD(v)。
• 在具有n个顶点、e条边的有向图中，
  

（五）顶点—顶点的关系描述

• 路径——顶点v_p到顶点v_q之间的一条路径是指顶点序列 ， v_p，v_i，…，v_im，v_q。
• 回路——第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
• 简单路径——在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径。
• 简单回路——除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。
• 路径长度——路径上边的数目。
• 点到点的距离——从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷（∞）。
• 无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的
• 有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

（六）连通图、强连通图

（七）子图

1. 无向图

2. 有向图

（八）连通分量

• 子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边。
• 无向图中的极大连通子图称为连通分量。
  

（九）强连通分量

• 子图必须强连通，同时保留尽可能多的边。
• 有向图中的极大连通子图称为有向图的强连通分量。
  

（十）生成树

• 边尽可能的少，但要保持连通
• 连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
• 若图中顶点数为n，则它的生成树含有 n-1 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。
  

（十一）生成森林

• 在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
  

（十二）边的权、带权图/网

• 边的权——在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。
• 带权图/网——边上带有权值的图称为带权图，也称网。
• 带权路径长度——当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度。
  

（十三）几种特殊形态的图

• 没有绝对的界限，一般来说|E| < |V|log|V|时，可以将G视为稀疏图