[Python系列-14]：人工智能 - 数学基础 -4- 数组元素的线性代数运算(向量矩阵运算）

Posted 2021-08-30 文火冰糖的硅基工坊

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目录

第1章 线性代数运算概述

1.1 什么是线性代数

1.2 线性代数运算

1.3 线性代数与深度智能的关系

第2章 向量与矩阵的定义

2.1 什么是向量

2.2 什么是矩阵

1.6 向量与矩阵的关系

第3章 数组的运算

3.1· 向量内积：numpy.inner()

3.2 向量的点乘运算：numpy.dot()

第4章 矩阵运算

4.1 矩阵相乘numpy.matmul

第1章 线性代数运算概述

1.1 什么是线性代数

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。

https://www.runoob.com/numpy/numpy-linear-algebra.html

1.2 线性代数运算

函数	描述
dot	两个数组的点积，即元素对应相乘。
vdot	两个向量的点积
inner	两个数组的内积
matmul	两个数组的矩阵积
determinant	数组的行列式
solve	求解线性矩阵方程
inv	计算矩阵的乘法逆矩阵

1.3 线性代数与深度智能的关系

深度学习中，存在大量向量和矩阵运算，矩阵运算的本质是并行的乘法和加法运算，如下图所示：

 因此很有必要先熟悉一下向量运算和矩阵的运算。

第2章 向量与矩阵的定义

2.1 什么是向量

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

（1）向量的空间几何意义：可以形象化地表示为带箭头、有方向的线段，实际上代表的是：空间中相对于原点的一个点！！！原点到给点的有向线段就是向量。

（2）向量的代数意义：在不同维度空间中的投影数值的序列。

如0维向量：几何意义是奇点或0点，代数表示：0；

如1维向量：几何意义是x轴上的一个点；代数表示为（A1）

如2维向量：几何意义是平面上的一个点；代数表示为（A1，W2）；其中a1和a2分别标识在x轴和y轴上的投影，即用x和y轴方向的投影的数值来表示向量。

如3维向量：几何意义是三维空间上的一个点；代数表示为（A1，A2, A3）；其中A1，A2，A3分别标识在x轴、y轴上、z轴上的投影数值，即用x、y、z轴方向的投影的数值来表示向量。

如N维向量：几何意义是N维空间上的一个点；代数表示为（A1，A2, A3，。。。。。An）；其中A1，A2，A3，An分别表示在n个维度方向上的投影数值。

也就是一个，一个特定的序列（A1，A2, A3，。。。。。An），代表了n维空间中的一个特定点，

 Ai =0：表示该点，在第i维空间的投影值为0，也就是说该点在i维度空间是不可见的，也就是说该点对第i维度空间没有影响。

（3）在深度学习中的意义：包含n个维度特征的数据。

如0维向量：该数据没有任何特征。

如1维向量：该数据中包含1个维度的特征，如温度。

如2维向量：该数据中包含2个维度的特征，如温度，颜色

如3维向量：该数据中包含3个维度的特征，如温度，颜色，大小

如N维向量：该数据中包含n个维度的特征，如温度，颜色，大小，高度，长度，地域，国家信息，

Ai = 0：表示该数据与某个特征无关，输出与输入与某个特征无关 。

（4）向量与Numpy

向量在Numpy中，体现在1维的数组中。

向量的维度，体现在1维数组中元素的个数，即1维矩阵中“列”的位数。

因此，向量的运算间的运算，就是1维数组间的运算。

2.2 什么是矩阵

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

 这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。

（1）矩阵的几何意义：m组n维向量的组合

（2）矩阵的代数意义：解线性方程组

（3）矩阵的深度学习意义：包含n个特征值的m组数据，通过这组数据，可以计算神经网络n个特征值的系数向量值。

1.6 向量与矩阵的关系

m组n维的向量就构成了矩阵。

第3章 数组的运算

3.1· 向量内积：numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积（对应位相乘后累加）。

对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

#实例
import numpy as np 

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([0,1,0])
 
print (np.inner(a,b)

# 等价于 1*0+2*1+3*0

# 输出结果为：

# 2

#多维数组实例
import numpy as np 
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
print ('数组 a：')
print (a)

b = np.array([[11, 12], [13, 14]])  
print ('数组 b：')
print (b)
 
print ('内积：')
print (np.inner(a,b))

# 输出结果为：

数组 a：
[[1 2]
 [3 4]]

数组 b：
[[11 12]
 [13 14]]

内积：
[[35 41]
 [81 95]]


# 内积计算式为：

1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

3.2 向量的点乘运算：numpy.dot()

对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积)；

对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；

对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a, b, out=None) 

参数说明：

• a : ndarray 数组
• b : ndarray 数组
• out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果

#实例1
import numpy.matlib
import numpy as np
 
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.array([11,12,13,14])
c = np.dot(a,b)   #点乘：按相同小标相乘
print(c)


#输出结果：

[11 24 39 56]

计算式为：

[1*11, 2*12, 3*13, 4*14]]

#实例2
import numpy.matlib
import numpy as np
 
a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
c = np.dot(a,b)   #点乘：按相同下标相乘
print(c)


#输出结果：

[[37  40] 
 [85  92]]

计算式为：

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

第4章 矩阵运算

4.1 矩阵相乘numpy.matmul

该函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

对于二维数组，它就是矩阵乘法：

实例
import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = [[1,0],[0,1]] 
b = [[4,1],[2,2]] 
print (np.matmul(a,b))
输出结果为：

[[4  1] 
 [2  2]]

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