[Python系列-14]:人工智能 - 数学基础 -4- 数组元素的线性代数运算(向量矩阵运算)

Posted 文火冰糖的硅基工坊

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[Python系列-14]:人工智能 - 数学基础 -4- 数组元素的线性代数运算(向量矩阵运算)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

作者主页(文火冰糖的硅基工坊):https://blog.csdn.net/HiWangWenBing

本文网址:https://blog.csdn.net/HiWangWenBing/article/details/119301224


目录

第1章 线性代数运算概述

1.1 什么是线性代数

1.2 线性代数运算

1.3 线性代数与深度智能的关系

第2章 向量与矩阵的定义

2.1 什么是向量

2.2 什么是矩阵

1.6 向量与矩阵的关系

第3章 数组的运算

3.1· 向量内积:numpy.inner()

3.2 向量的点乘运算:numpy.dot()

第4章 矩阵运算

4.1 矩阵相乘numpy.matmul

第1章 线性代数运算概述

1.1 什么是线性代数

线性(linear)指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数常数的函数。

https://www.runoob.com/numpy/numpy-linear-algebra.html

1.2 线性代数运算

函数描述
dot两个数组的点积,即元素对应相乘。
vdot两个向量的点积
inner两个数组的内积
matmul两个数组的矩阵积
determinant数组的行列式
solve求解线性矩阵方程
inv计算矩阵的乘法逆矩阵

1.3 线性代数与深度智能的关系

深度学习中,存在大量向量和矩阵运算,矩阵运算的本质是并行的乘法和加法运算,如下图所示:

 因此很有必要先熟悉一下向量运算和矩阵的运算。

第2章 向量与矩阵的定义

2.1 什么是向量

在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。

(1)向量的空间几何意义:可以形象化地表示为带箭头、有方向的线段,实际上代表的是:空间中相对于原点的一个点!!!原点到给点的有向线段就是向量。

(2)向量的代数意义:在不同维度空间中的投影数值的序列。

如0维向量:几何意义是奇点或0点,代数表示:0;

如1维向量:几何意义是x轴上的一个点;代数表示为(A1)

如2维向量:几何意义是平面上的一个点;代数表示为(A1,W2);其中a1和a2分别标识在x轴和y轴上的投影,即用x和y轴方向的投影的数值来表示向量。

如3维向量:几何意义是三维空间上的一个点;代数表示为(A1,A2, A3);其中A1,A2,A3分别标识在x轴、y轴上、z轴上的投影数值,即用x、y、z轴方向的投影的数值来表示向量。

如N维向量:几何意义是N维空间上的一个点;代数表示为(A1,A2, A3,。。。。。An);其中A1,A2,A3,An分别表示在n个维度方向上的投影数值。

也就是一个,一个特定的序列(A1,A2, A3,。。。。。An),代表了n维空间中的一个特定点,

 Ai =0:表示该点,在第i维空间的投影值为0,也就是说该点在i维度空间是不可见的,也就是说该点对第i维度空间没有影响。

(3)在深度学习中的意义:包含n个维度特征的数据。

如0维向量:该数据没有任何特征。

如1维向量:该数据中包含1个维度的特征,如温度。

如2维向量:该数据中包含2个维度的特征,如温度,颜色

如3维向量:该数据中包含3个维度的特征,如温度,颜色,大小

如N维向量:该数据中包含n个维度的特征,如温度,颜色,大小,高度,长度,地域,国家信息,

Ai = 0:表示该数据与某个特征无关,输出与输入与某个特征无关 。

(4)向量与Numpy

向量在Numpy中,体现在1维的数组中。

向量的维度,体现在1维数组中元素的个数,即1维矩阵中“列”的位数。

因此,向量的运算间的运算,就是1维数组间的运算。

2.2 什么是矩阵

在数学中,矩阵(Matrix)是一个按照长方阵列排列的复数实数集合。

 这m×n 个数称为矩阵A的元素,简称为元,数aij位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元,以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n,m×n矩阵A也记作Amn

(1)矩阵的几何意义:m组n维向量的组合

(2)矩阵的代数意义:解线性方程组

(3)矩阵的深度学习意义:包含n个特征值的m组数据,通过这组数据,可以计算神经网络n个特征值的系数向量值。

1.6 向量与矩阵的关系

m组n维的向量就构成了矩阵。

第3章 数组的运算

3.1· 向量内积:numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积(对应位相乘后累加)。

对于更高的维度,它返回最后一个轴上的和的乘积。

#实例
import numpy as np 

a = np.array([1,2,3])
b = np.array([0,1,0])
 
print (np.inner(a,b)

# 等价于 1*0+2*1+3*0

# 输出结果为:

# 2
#多维数组实例
import numpy as np 
a = np.array([[1,2], [3,4]]) 
print ('数组 a:')
print (a)

b = np.array([[11, 12], [13, 14]])  
print ('数组 b:')
print (b)
 
print ('内积:')
print (np.inner(a,b))
# 输出结果为:

数组 a:
[[1 2]
 [3 4]]

数组 b:
[[11 12]
 [13 14]]

内积:
[[35 41]
 [81 95]]


# 内积计算式为:

1*11+2*12, 1*13+2*14 
3*11+4*12, 3*13+4*14

3.2 向量的点乘运算:numpy.dot()

对于维的数组,计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为内积);

对于二维数组,计算的是两个数组的矩阵乘积;

对于多维数组,它的通用计算公式如下,即结果数组中的每个元素都是:数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和: dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

numpy.dot(a, b, out=None) 

参数说明:

  • a : ndarray 数组
  • b : ndarray 数组
  • out : ndarray, 可选,用来保存dot()的计算结果
#实例1
import numpy.matlib
import numpy as np
 
a = np.array([1,2,3,4])
b = np.array([11,12,13,14])
c = np.dot(a,b)   #点乘:按相同小标相乘
print(c)


#输出结果:

[11 24 39 56]

计算式为:

[1*11, 2*12, 3*13, 4*14]]
#实例2
import numpy.matlib
import numpy as np
 
a = np.array([[1,2],[3,4]])
b = np.array([[11,12],[13,14]])
c = np.dot(a,b)   #点乘:按相同下标相乘
print(c)


#输出结果:

[[37  40] 
 [85  92]]

计算式为:

[[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

第4章 矩阵运算

4.1 矩阵相乘numpy.matmul

该函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积,但如果任一参数的维数大于2,则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈,并进行相应广播。

另一方面,如果任一参数是一维数组,则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵,并在乘法之后被去除。

对于二维数组,它就是矩阵乘法:

实例
import numpy.matlib 
import numpy as np 
 
a = [[1,0],[0,1]] 
b = [[4,1],[2,2]] 
print (np.matmul(a,b))
输出结果为:

[[4  1] 
 [2  2]]


作者主页(文火冰糖的硅基工坊):https://blog.csdn.net/HiWangWenBing

本文网址:https://blog.csdn.net/HiWangWenBing/article/details/119301224

以上是关于[Python系列-14]:人工智能 - 数学基础 -4- 数组元素的线性代数运算(向量矩阵运算)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

[Python系列-16]:人工智能 - 数学基础 -6- 常见数学函数激活函数大全

[Python系列-13]:人工智能 - 数学基础 -3- 数组元素的统计

[Python系列-11]:人工智能 - 数学基础 -1- 数组元素的函数运算

[Python系列-12]:人工智能 - 数学基础 -2- 数组元素的算术运算

[Python系列-15]:人工智能 - 数学基础 -5- 向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义

Python系列课程——人工智能篇简单入门