洛谷 - P4173 残缺的字符串(多项式匹配字符串-NTT)

Posted 2021-08-28 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ 和一个长度为 $m$ 的字符串 $t$，都含有通配符 ‘*’，现在问字符串 $t$ 可以匹配字符串 $n$ 的哪些位置

题目分析：模糊匹配的模板题，这里只记录一下公式，具体推导博客详见：
https://www.luogu.com.cn/blog/Ebola-Emperor/solution-p4173

先放两个公式：

设原模式串为 $A$，匹配串 $B$，$A$ 的翻转 $S$

$P(x)$ 为全匹配函数，若 $P(x)=0$ 则称 $B$ 以第 $x$ 位结束的连续 $m$ 位，与 $A$ 完全匹配

---

普通的单模式串匹配：$P(x)=T+f(x)-f(x-m)-2g(x)$

其中 $T=\sum _{i=0}^{m-1}S(i{)}^2$，$f(x)=\sum _{i=0}^{x}B(i{)}^2$，$g(x)=\sum _{i+j=x}S(i)B(j)$

伪代码：

void FFT_Match(char *s1,char *s2,int m,int n)
{
	for(int i=0;i<m;i++) A[i].r=s1[i]-'a'+1;
	for(int i=0;i<n;i++) B[i].r=s2[i]-'a'+1;
	reverse(A,A+m);double T=0;
	for(int i=0;i<m;i++) T+=A[i].r*A[i].r;
	f[0]=B[0].r*B[0].r;
	for(int i=1;i<n;i++) f[i]=f[i-1]+B[i].r*B[i].r;
	FFT(A,len,1);FFT(B,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) g[i]=A[i]*B[i];
	FFT(g,len,-1);
	for(int x=m-1;x<n;x++)
	{
		double P=T+f[x]-f[x-m]-2*g[x].r;
		if(fabs(P)<eps) printf("%d ",x-m+2);
	}
}

带通配符的单模式串匹配：$P(x)=\sum _{i+j=x}S(i{)}^{3}B(j)+\sum _{i+j=x}S(i)B(j{)}^3-2\sum _{i+j=x}S(i{)}^{2}B(j{)}^2$

伪代码：

void FFT_match(char *s1,char *s2,int m,int n)
{
	reverse(ss1,ss1+m);
	for(int i=0;i<m;i++) A[i]=(s1[i]!='*')?(s1[i]-'a'+1):0;
	for(int i=0;i<n;i++) B[i]=(s2[i]!='*')?(s2[i]-'a'+1):0;
	
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=Comp(A[i]*A[i]*A[i],0),b[i]=Comp(B[i],0);
	FFT(a,len,1);FFT(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) P[i]=P[i]+a[i]*b[i];
	
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=Comp(A[i],0),b[i]=Comp(B[i]*B[i]*B[i],0);
	FFT(a,len,1);FFT(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) P[i]=P[i]+a[i]*b[i];
	
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=Comp(A[i]*A[i],0),b[i]=Comp(B[i]*B[i],0);
	FFT(a,len,1);FFT(b,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) P[i]=P[i]-a[i]*b[i]*Comp(2,0);
	
	FFT(P,len,-1);
	for(int i=m-1;i<n;i++) if(fabs(P[i].r)<=1e-7) printf("%d ",i-m+2);
}

本题代码：（NTT实现）

// Problem: P4173 残缺的字符串
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4173
// Memory Limit: 128 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=998244353,G=3,Gi=332748118; 
int n,m,limit = 1,L,r[N<<2],res[N<<2];
LL a[N<<2],b[N<<2],P[N<<2],A[N<<2],B[N<<2];
inline LL fastpow(LL a, LL k) {
	LL base = 1;
	while(k) {
		if(k & 1) base = (base * a ) % mod;
		a = (a * a) % mod;
		k >>= 1;
	}
	return base % mod;
}
inline void NTT(LL *A, int type) {
	for(
以上是关于洛谷 - P4173 残缺的字符串(多项式匹配字符串-NTT)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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 P4173 残缺的字符串（FFT）
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 [Luogu P4173]残缺的字符串  ( 数论 FFT)