小波分析二小波分析基础知识
Posted 陆嵩
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【小波分析】二、小波分析基础知识
文章目录
基本记号
信号空间
对于一个无限的序列：
p
(
x
−
2
,
x
−
1
,
x
0
,
x
1
,
…
)
p\\left(x_{-2} ,x_{-1},x_{0}, x_{1}, \\ldots\\right)
p(x−2,x−1,x0,x1,…)
若离散序列是能量有限的，即
∑
l
=
−
∞
+
∞
∣
x
l
∣
2
<
+
∞
\\sum_{l=-\\infty}^{+\\infty}\\left|x_{l}\\right|^{2}<+\\infty
l=−∞∑+∞∣xl∣2<+∞
我们成所有这些序列构成的空间为
l
2
(
Z
)
l^{2}(Z)
l2(Z)。
同样地，我们可以定义
L
2
(
R
)
L^{2}(\\mathbb{R})
L2(R) 空间，
L
2
(
R
)
=
{
f
(
t
)
:
∫
−
∞
+
∞
∣
f
(
t
)
∣
2
<
+
∞
}
L^{2}(\\mathbb{R})=\\left\\{f(t): \\int_{-\\infty}^{+\\infty} \\left| f(t) \\right|^2<+\\infty\\right\\}
L2(R)={f(t):∫−∞+∞∣f(t)∣2<+∞}
若
f
f
f 是以
2
π
2\\pi
2π为周期的周期函数，且在一个周期上能量有限，
∫
0
2
π
∣
f
(
t
)
∣
2
d
t
<
+
∞
\\int_{0}^{2 \\pi}|f(t)|^2d t < +\\infty
∫02π∣f(t)∣2dt<+∞
这类函数构成的空间，我们一般用 L 2 ( 0 , 2 π ) L^{2}(0,2 \\pi) L2(0,2π) 表示。
内积和模（范数）
Hilbert 空间：
∀
f
(
t
)
,
g
(
t
)
∈
L
2
(
R
)
\\forall f(t), g(t) \\in L^2(\\mathbb{R})
∀f(t),g(t)∈L2(R)，
⟨
f
(
t
)
,
g
(
t
)
⟩
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
g
ˉ
(
t
)
d
t
\\langle f(t), g(t)\\rangle=\\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) \\bar{g}(t) d t
⟨f(t),g(t)⟩=∫−∞+∞f(t)gˉ(t)dt
∥ f ( t ) ∥ = ⟨ f ( t ) f ( t ) ⟩ = ( ∫ − ∞ + ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t ) 1 / 2 \\|f(t)\\|=\\sqrt{\\langle f(t) f(t)\\rangle}=\\left(\\int_{-\\infty}^{+\\infty}|f(t)|^{2} d t\\right)^{1 / 2} ∥f(t)∥=⟨f(t)f(t)⟩=(∫−∞+∞∣f(t)∣2dt)1/2
α f ( t ) + β g ( t ) ∈ L 2 ( R ) \\alpha f(t)+\\beta g(t) \\in L^{2}(\\mathbb{R}) αf(t)+βg(t)∈L2(R)
傅里叶变换及其性质
正变换（分解）
f ^ ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i ω t d t \\hat{f}(\\omega)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-i \\omega t} d t f^(ω)=2π1∫−∞+∞f(t)e−iωtdt
很容易理解，我们之前解释过，所谓的变换无非是找一组基，把函数在这组基下表示出来。那么所谓的傅里叶变换，无他，就是我们找了一组基
e
i
ω
t
e^{i\\omega t}
eiωt，这是一组连续的基，是通过
e
e
e的复指数或者说三角函数，通过伸缩得到的一组基。
ω
\\omega
ω 表示频率，
ω
\\omega
ω 越大周期越小。正变换，就是求函数
f
(
t
)
f(t)
f(t)在每一个频率对应的基下面的成分或者说投影，当然，前面还有一个系数。即，
<
f
,
e
i
ω
t
>
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
i
ω
t
‾
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
t
)
e
−
i
ω
t
<f,e^{i\\omega t}> = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) \\overline {e^{i \\omega t}} d t = \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(t) e^{-i \\omega t}
<f,eiωt>=∫−∞+∞f(t)eiωtdt=∫−∞+∞f(t)e−iωt
f
^
(
ω
)
\\hat{f}(\\omega)
f^(ω) 也叫
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的谱。不说明的时候，我们一般用头顶上的 hat 来表达。
逆变换（重构）
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( ω ) e i ω t d ω f(t)=\\frac{1}{\\sqrt{2 \\pi}} \\int_{-\\infty}^{+\\infty} f(\\omega) e^{i \\omega t} d \\omega f(t)=2π1∫−∞+∞f(ω)eiωtdω
当我们有了频率分量上的成分值（权重）大小时，我们在积分的意义下，做一个线性组合，就得到了原来的时域中的函数 f ( t ) f(t) f(小波分析一小波分析入门基础介绍