牛客多校训练赛补题

Posted 2021-08-24 Hellsegamosken

contest2

这场在高铁上，没好好打。

A - Arithmetic Progression

第一步观察就没看出来…

首先，b 的公差一定是 g c d i = 1 n − 1 { b i + 1 − b i } gcd_{i=1}^{n-1}\\{b_{i + 1} - b_i\\} gcdi=1n−1​{bi+1​−bi​}。因此相当于判断 ( r − l + 1 ) ⋅ g c d i = 1 n − 1 { b i + 1 − b i } − m a x { b i } + m i n { b i } (r - l +1) · gcd_{i=1}^{n-1}\\{b_{i + 1} - b_i\\} - max\\{b_i\\} + min\\{b_i\\} (r−l+1)⋅gcdi=1n−1​{bi+1​−bi​}−max{bi​}+min{bi​} 是不是等于 0。

枚举右端点，用线段树维护左端点。max 和 min 用单调栈处理即可。注意到

1. 对于一个右端点，gcd 不同的左端点至多 log 段。
2. 对于一个左端点，右端点右移的过程中 gcd 最多变化 log 次。

因此右端点移动的时候，对于 gcd 不变的左端点，由于 1，可以进行 log 段区间加；对于 gcd 变化的左端点，由于 2，暴力单点修改即可。

注意到，需要单点修改的左端点一定是一个后缀。用一个栈维护一下 log 段 gcd 的右端点即可。

contest3

G - Yu Ling(Ling YueZheng) and Colorful Tree

颜色范围 [1, n]。

容易想到构建 n 棵树，第 i 棵树上存放颜色是 i 的倍数的点的信息。因为保证颜色两两不重复，因此总点数是 nlogn 的。之后，对于某个询问，相当于在某一刻线段树上查询颜色在某个范围内的，某个点的最近祖先。注意到还有一个时间维度。

我考场上的做法是在最外围处理时间，抛开时间限制之后，离线，在线段树上 dfs，用 n 棵线段树维护当前点到根这条链上的信息即可（第 i
个叶子维护颜色 i 到根的距离，查询区间最大值），这部分是两个 log。至于外面时间的处理，可以 cdq + 虚树加一个 log，但我实在懒得写，因此用分块重构的方法，调整块大小为 n^0.8 左右复杂度和三个 log 差不多，但并没有通过此题。

考后看了逆十字的代码。注意到边权为正，因此“最近祖先”这个东西是可以二分的。因此问题转化成每次给某个点一个数，询问某个点向上的某条祖先链有没有范围在某个区间内的数。这是个二维信息，“祖先链”这一维可以在 dfs 序上用树状数组解决，另一维就是线段树了。于是这题就三个 log 解决了。

I - Kuriyama Mirai and Exclusive Or

感觉这是个神仙题啊… orz zcq

第一种操作好说，关键是第二种操作。
发现对于第 i 位，异或的序列一定是有 2^(i+1) 的周期。如果把原序列的每 2^(i+1) 个元素作为一行，那么会惊喜的发现所有 1 会形成 O(1) 个矩形！然后二维差分即可。