2021牛客多校1 - Hash Function(思维+FFT)

Posted 2021-08-22 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列，现在要求找到一个 $seed$，使得所有数字变为 $a[i]=a[i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}seed$ 后两两互不相同，找到最小的 $seed$

题目分析：考虑转换模型，如果存在着 $i$ 和 $j$ 使得 $a[i]\equiv a[j](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}seed)$，那么肯定有 $a[i]+k\ast seed=a[j]$，其中 $k$ 为任意正整数，移项可得 $a[i]-a[j]\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}seed)$，到此模型转换为寻找到最小的正整数 $m$，其中不是任意一对 $|a[i]-a[j]|$ 的约数。

直接按照项数枚举的话复杂度是 $n^2$ 级别的，观察到值域是 $[0,500000]$ 的，即 $a[i],a[j]\in [0,500000]$，推得 $|a[i]-a[j]|\in [0,500000]$，因为本题中任意两项的值都互不相等，所以可以从值域入手，判断某个值是否存在，此时只需要枚举答案 $seed$，就可以在 $O(nlogn)$ 的时间复杂度内检查答案是否合法。

我们将 $a[i]=x$ 转换为 $P[x]=1$，令多项式 { P 0 , P 1 , . . . , P 500000 − 1 , P 500000 } \\{ P_{0},P_{1},...,P_{500000-1},P_{500000} \\} {P0​,P1​,...,P500000−1​,P500000​} 与 { P 0 , P − 1 , . . . , P − ( 500000 − 1 ) , P − 500000 } \\{ P_{0},P_{-1},...,P_{-(500000-1)},P_{-500000} \\} {P0​,P−1​,...,P−(500000−1)​,P−500000​} 进行卷积，这样对于其中的 $P[i]$ 和 $P[j]$，卷积后得到 $P[i+j]$，因为 $j$ （下标）是负数，所以自然得到了所有的 $P_{i-j}$

到此为止就可以用 ntt 或 fft 进行优化了，不过多项式卷积不支持负数，所以需要给会出现负数的位置增加一个偏移量 $limit$，令第二个多项式变为： { P l i m i t − 0 , P l i m i t − 1 , . . . , P l i m i t − ( 500000 − 1 ) , P l i m i t − 500000 } \\{ P_{limit-0},P_{limit-1},...,P_{limit-(500000-1)},P_{limit-500000} \\} {Plimit−0​,Plimit−1​,...,Plimit−(500000−1)​,Plimit−500000​}

因为 $|a[i]-a[j]|\in [0,500000]$，所以最后枚举答案的范围是 $[1,500001]$

代码：

// Problem: Hash Function
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11166/H
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 4000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#include<complex>
#define cp complex < double >
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;

int lena=0,lenb=0,n,res[N<<2];
 
cp F[N<<2],G[N<<2],arr[N<<2],inv[N<<2];
 
void init()
{
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        arr[i]=cp(cos(2*pi*i/n),sin(2*pi*i/n));
        inv[i]=conj(arr[i]);
    }
}
void FFT(cp *a,cp *arr)
{
    int lim=0;
    while ((1<<lim)<n) lim++;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        int t=0;
        for (int j=0;j<lim;j++)
            if ((i>>j) & 1) t|=1<<(lim-j-1);
        if (i<t) swap(a[i],a[t]);
    }
    for (int l=2;l<=n;l*=2)
    {
        int m=l/2;
        for (cp *buf=a;buf!=a+n;buf+=l)
            for (int i=0;i<m;i++)
            {
                cp t=arr[n/l*i]*buf[i+m];
                buf[i+m]=buf[i]-t;
                buf[i]+=t;
            }
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freo
以上是关于2021牛客多校1 - Hash Function(思维+FFT)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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