2021牛客多校8 D.OR（位运算）

Posted 2021-09-04 li_wen_zhuo

题目描述

There are two sequences of length n−1, b=(b2,b3,……,bn), c=(c2,c3,……,cn). Here, each bi,ci is a non-negative integer.
Now, the sequence a=(a1,a2,……,an)，considers beautiful if and only if forall i (2≤i≤n), bi = a[i-1] | a[i] , ci=a[i-1]+a[i] and each ai is a non-negative integer.
Now, Toilet-Ares asks you to calculate the number of beautiful sequences.

输入描述

The first line contains one integer n (2≤n≤10^5) - the length of sequence a.
The second line contains n−1 integers b2,b3,……,bn (0≤bi<2^30) - the elements of sequence b.
The third line contains n−1 integers c2,c3,……,cn(0≤ci<2^31) - the elements of sequence c.

输出描述

Print one number - the number of beautiful sequences.

示例1

输入
4
7 5 5
7 9 5
输出
2

题目大意

给出两个序列b[]和c[]，b[i]=a[i-1] | a[i] 而 c[i]=a[i-1]+a[i]。求a[]序列有多少种。

题目分析

$本题最关键的结论：a+b=a\&b+a|b$
有了这个结论，我们就可以把题目中的加法转换为位运算，然后用位运算的方法处理该题目了。

$1，因为a[]数组中所有相邻元素的与或值都已经确定了，因此我们可以发现：只要a[]中第一个元素的值确定了，后$$面的所有数我们都可以通过其相邻元素的值确定下来。即：a[]数组第一个元素的种数即为a[]数组的种数。$

$2，将c[]数组从加法变成与运算，即c[i]=c[i]-b[i]。这样c[]的数学意义就变为了c[i]=a[i-1]\&a[i]。$

$3，枚举a[1]二进制数中的每一位，然后判断该位填0和1是否合法：$
$如果填0和1都合法，那么该位两种情况均合法，答案\ast 2$
$如果只有一个合法，那么该位只有一种情况合法，答案数量不变$
$如果0和1都不合法，那么该位没有合法情况，无解$

代码如下

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<LL,LL>
#define PDD pair<double,double>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=1e5+5,INF=1e9+7;
int n,b[N],c[N];
bool check(int k,int x)			//判断a[0]的第k位为x是否合法
{
	for(int i=1;i<n;i++)		//从a[0]的第k为向后进行推导
	{
		int bb=(b[i]>>k)&1,cc=(c[i]>>k)&1;		//取出b[i]和c[i]的第k位
		if(bb&&!cc) x^=1;						//如果或结果为1，与结果为0.说明a[i-1]与a[i]值不相同，推进到下一位要^1
		if(!x&&cc) return false;				//两种不合法的情况
		if(x&&!bb) return false;
	}							//其它情况a[i-1]=a[i],推进到下一位不需要改变
	return true;				//如果能够顺利推出每一位，则第k位为x合法
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++) scanf("%d",&b[i]);
	for(int i=1;i<n;i++) scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		c[i]-=b[i];
		if(c[i]<0) return puts("0"),0;			//如果a+b<a|b，无解
	}
	int ans=1;
	for(int i=0;i<32;i++)
	{
		bool a=check(i,0),b=check(i,1);
		if(a&&b) ans<<=1;						//情况1
		else if(!a&&!b) return puts("0"),0;		//情况3
	}
	printf("%d\\n",ans);
 	return 0;
}