机器学习回归决策树

Posted 2021-08-15 ZSYL

回归决策树

• 1. 原理概述
• 2. 算法描述
• 3. 简单实例
• • 3.1 实例计算过程
  • 3.2 回归决策树和线性回归对比
• 4. 小结

1. 原理概述

上篇文章已经讲到，关于数据类型，我们主要可以把其分为两类，连续型数据和离散型数据。在面对不同数据时，决策树也 可以分为两大类型： 分类决策树和回归决策树。 前者主要用于处理离散型数据，后者主要用于处理连续型数据。

不管是回归决策树还是分类决策树，都会存在两个核心问题：

• 如何选择划分点？
• 如何决定叶节点的输出值？

⼀个回归树对应着输入空间（即特征空间）的⼀个划分以及在划分单元上的输出值。分类树中，我们采用信息论中的方法，通过计算选择最佳划分点。

而在回归树中，采用的是启发式的方法。假如我们有n个特征，每个特征有si(i ∈ (1, n))个取值，那我们遍历所有特征， 尝试该特征所有取值，对空间进行划分，直到取到特征 j 的取值 s，使得损失函数最小，这样就得到了⼀个划分点。描述该过程的公式如下：

假设将输入空间划分为M个单元：R1, R2, …, Rm 那么每个区域的输出值就是：cm = avg(yi∣xi ∈ Rm)也就是该区域内所有点y值的平均数。

举例： 

如下图，假如我们想要对楼内居⺠的年龄进⾏回归，将楼划分为3个区域R1, R2 , R3（红线）， 

那么R1的输出就是第⼀列四个居⺠年龄的平均值， 

R2的输出就是第⼆列四个居⺠年龄的平均值， 

R3的输出就是第三、四列⼋个居⺠年龄的平均值。

2. 算法描述

• 输入：训练数据集D:

• 输出：回归树f(x).

• 在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树：

• （1）选择最优切分特征j与切分点s，求解
  

• （2）用选定的对(j, s)划分区域并决定相应的输出值：
  

• （3）继续对两个子区域调用步骤(1)和(2)，直至满足停止条件。

• （4）将输入空间划分为M个区域R , R , …, R , 生成决策树：
  

3. 简单实例

为了易于理解，接下来通过⼀个简单实例加深对回归决策树的理解。 训练数据见下表，目标是得到⼀棵最小二乘回归树。

3.1 实例计算过程

（1）选择最优的切分特征j与最优切分点s：

• 确定第一个问题：选择最优切分特征：
  • 在本数据集中，只有⼀个特征，因此最优切分特征自然是x。
• 确定第二个问题：我们考虑9个切分点 [1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5] 。

a、计算子区域输出值：

例如，取 s=1.5。此时R1 = 1, R2 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，这两个区域的输出值分别为：

• c1 = 5.56
• c2 = (5.7 + 5.91 + 6.4 + 6.8 + 7.05 + 8.9 + 8.7 + 9 + 9.05)/9 = 7.50。

同理，得到其他各切分点的子区域输出值，如下表：

b、计算损失函数值，找到最优切分点：

当s=1.5时，

同理，计算得到其他各切分点的损失函数值，可获得下表：

显然取 s=6.5时，m(s)最小。因此，第⼀个划分变量【j=x,s=6.5】

（2）用选定的(j,s)划分区域，并决定输出值;

• 两个区域分别是：R1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, R2 = {7, 8, 9, 10}
• 输出值cm = avg(yi∣xi ∈ Rm), c1 = 6.24, c2 = 8.91

（3）调用步骤 (1)、(2)，继续划分：

对R1继续进行划分:

取切分点[1.5,2.5,3.5,4.5,5.5]，则各区域的输出值c如下表：

计算损失函数值m(s)：

s=3.5时，m(s)最小。

（4）生成回归树

假设在生成3个区域之后停止划分，那么最终⽣成的回归树形式如下：

3.2 回归决策树和线性回归对比

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor 
from sklearn import linear_model 
# 用来正常显示中文标签
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] 

# ⽣成数据 
x = np.array(list(range(1, 11))).reshape(-1, 1) 
y = np.array([5.56, 5.70, 5.91, 6.40, 6.80, 7.05, 8.90, 8.70, 9.00, 9.05]) 

# 训练模型 
model1 = DecisionTreeRegressor(max_depth=1) # 决策树模型
model2 = DecisionTreeRegressor(max_depth=3) # 决策树模型
model3 = linear_model.LinearRegression()  # 线性回归模型
model1.fit(x, y) 
model2.fit(x, y) 
model3.fit(x, y) 

# 模型预测 
X_test = np.arange(0.0, 10.0, 0.01).reshape(-1, 1) # ⽣成1000个数,⽤于预测模型 
X_test.shape y_1 = model1.predict(X_test) 
y_2 = model2.predict(X_test) 
y_3 = model3.predict(X_test) 

# 结果可视化 
plt.figure(figsize=(10, 6), dpi=100) 
plt.scatter(x, y, label="data") 
plt.plot(X_test, y_1,label="max_depth=1") 
plt.plot(X_test, y_2, label="max_depth=3") 
plt.plot(X_test, y_3, label='liner regression') 

plt.xlabel("data") 
plt.ylabel("target") 
plt.title("Decision Tree Regression")

plt.legend() 
plt.show()

结果展示

4. 小结

• 回归决策树算法总结

  • 输入：训练数据集D:
  • 输出：回归树f(x).
  • 流程：在训练数据集所在的输入空间中，递归的将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域上的输出值，
    构建二叉决策树：
  • （1）选择最优切分特征j与切分点s，求解
    
    遍历特征j,对固定的切分特征j扫描切分点s,选择使得上式达到最小值的对(j, s).

• （2）用选定的对(j, s)划分区域并决定相应的输出值：
  

• （3）继续对两个子区域调用步骤（1）和（2），直至满足停止条件。

• （4）将输入空间划分为M个区域R1, R2 , …, RM , 生成决策树：
  

加油!

感谢!

努力!