机器学习线性回归的损失和优化
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了机器学习线性回归的损失和优化相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
线性回归的损失和优化
线性回归的损失和优化
学习目标
- 知道线性回归中损失函数
- 知道使用正规方程对损失函数优化的过程
- 知道使用梯度下降法对损失函数优化的过程
假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系：
真实关系：真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率
那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）
随机指定关系：预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率
请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这个样子：
既然存在这个误差，那我们就将这个误差给衡量出来
1. 损失函数
总损失定义为：
- yi为第i个训练样本的真实值
- h(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数
- 又称最小二乘法
如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！
2. 优化算法
如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）
-
线性回归经常使用的两种优化算法
- 正规方程
- 梯度下降法
2.1 正规方程
2.1.1 什么是正规方程
理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果
缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果
2.1.2 正规方程求解举例
以下表数据为例：
即：
运用正规方程方法求解参数：
2.1.3 正规方程的推导
推导方式一
把该损失函数转换成矩阵写法：
其中y是真实值矩阵，X是特征值矩阵，w是权重矩阵
对其求解关于w的最小值，起止y,X 均已知二次函数直接求导，导数为零的位置，即为最小值。
求导：
注：式(1)到式(2)推导过程中, X是一个m行n列的矩阵，并不能保证其有逆矩阵，但是右乘XT把其变成一个方阵，保证其有逆矩阵。
式(5)到式(6)推导过程中，和上类似。
推导方式二
损失表示方式
总损失定义为：
- yi为第i个训练样本的真实值
- h(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数
- 又称最小二乘法
另一种推导方式
把损失函数分开书写：
对展开上式进行求导：
需要求得求导函数的极小值，即上式求导结果为0，经过化解，得结果为：
经过化解为：
补充：需要用到的矩阵求导公式：
2.2 梯度下降(Gradient Descent)
2.2.1 什么是梯度下降
梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。
假设这样一个场景：
一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。
因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。
具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，（同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走）。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。
梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。
首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。
我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。
根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数值变化最快的方向。 所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。
2.2.2 梯度的概念
梯度是微积分中一个很重要的概念
在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率；
在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向；
这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的反方向一直走，就能走到局部的最低点！
2.2.3 梯度下降举例
1.单变量函数的梯度下降
我们开始进行梯度下降的迭代计算过程:
如图，经过四次的运算，也就是走了四步，基本就抵达了函数的最低点，也就是山底。
2.多变量函数的梯度下降
进行多次迭代:
我们发现，已经基本靠近函数的最小值点
2.2.4 梯度下降（Gradient Descent）公式
1) α是什么含义？
α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！
2) 为什么梯度要乘以一个负号？
梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号
我们通过两个图更好理解梯度下降的过程
所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力
- 优化动态图演示
3. 梯度下降和正规方程的对比
3.1 算法选择依据
- 小规模数据：
- 正规方程：LinearRegression(不能解决拟合问题)
- 岭回归
- 大规模数据：
- 梯度下降法：SGDRegressor
4. 小结
- 损失函数
- 最小二乘法
- 线性回归优化方法
- 正规方程
- 梯度下降法
- 正规方程 – 一蹴而就
- 利用矩阵的逆,转置进行一步求解
- 只是适合样本和特征比较少的情况
- 梯度下降法 — 循序渐进
- 梯度的概念
- 单变量 – 切线
- 多变量 – 向量
- 梯度下降法中关注的两个参数
- α – 就是步长
- 步长太小 – 下山太慢
- 步长太大 – 容易跳过极小值点(*)
- 为什么梯度要加一个负号
- 梯度方向是上升最快方向,负号就是下降最快方向
- α – 就是步长
- 梯度的概念
- 梯度下降法和正规方程选择依据
- 小规模数据：
正规方程：LinearRegression(不能解决拟合问题)
岭回归 - 大规模数据：
梯度下降法：SGDRegressor
- 小规模数据：
以上是关于机器学习线性回归的损失和优化的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章