龙格库塔法

Posted 2021-08-08 刘文巾

1 基本思想

我们求解常微分方程的时候，某些常微分方程有解析方法，但是大多数的常微分方程只能用数值解法来求解。

数值解法的一个基本特点就是“递进式”，顺着节点的顺序一步一步向前推进。

龙格库塔法的基本思想就是利用f(x,y)在某些特殊点上的函数值的线性组合，来估算高阶单步法的平均斜率。

1.1 平均斜率

对于常微分方程，有一个初始解y=y(x)，用泰勒展开式有（其中，h=x(n+1)-x(n)）：

 根据拉格朗日中值定理，存在一个θ∈(0,1),使得

 

所以对于,有

y'(x+θh)就是这里的平均斜率。

2 二阶龙格库塔法

考虑区间上的点 (0＜p≤1)

用点和点的斜率K1和K2的加权平均作为到的 平均斜率K的近似值

即：K=λ1K1+λ2K2，也就是=+h(λ1K1+λ2K2),其中h=-

λ1和λ2都是待定的常数，K1=f(yi,yi)，那么问题在于：如何确定点的斜率K2和常数λ1，λ2

 

按照改进的泰勒展开式，用泰勒展开式估计

并用它来估计斜率K2

于是得到如下形式的算法：

 

要使得公式具备二阶精度，需要：

λ1+λ2=1—— h的系数

λ2p=1/2——的系数

（和泰勒公式里面h的系数对应）

方程组有无穷多组解，所以二级方程有无穷多种。

的系数怎么看？f之前h的幂是的一部分。

另一部分是这么看的：f(x,y+ Ki)中的n算是的一部分，同时整个f(x,y)算是的一部分

 2.2 常用的二阶龙格库塔法

2.2.1 中点法

λ1=0，λ2=1 ，p=1/2

 2.2.2 传统二阶龙格库塔法：

λ1=1/2 λ2=1/2 p=1

 3 传统三阶龙格库塔法

 

 

通过验证，不难发现h的1，2，3次方的系数和泰勒展开式中一致

h的系数 1/6+2/3+1/6=1

的系数 (2/3)*1/2-1/6+(1/6)*2=1/2

的系数 ((1/6)*2)/2=1/6

4 传统四阶龙格库塔法

 4.1 四阶龙格库塔法举例

 

 我们使用经典四阶龙格库塔法：

实验结果：

可视化结果

 4.2 python实现四阶龙格库塔法

 见 python 实现四阶龙格库塔法_刘文巾的博客-CSDN博客

参考文献 第二节 龙格-库塔方法 - 百度文库 (baidu.com)