<算法笔记01;ST表

Posted 2021-08-06 Fan_Xuwei

st表

• 需求：输入一个序列\\(A[n]\\)​，进行\\(q\\)次查询，每次查询求\\([l,r]\\)区间的最大值。

• 问题：暴力的求法是，每次都遍历一下，求最大值，显然这个非常慢。所以我们需要引入一个高效的数据结构。

• 介绍：st表根据倍增思想实现的数据结构，主要用来求解RMQ问题，\\(O(1)\\)​的时间复杂度求出某个区间的最大值，最小值。

算法介绍

预处理

​ 首先，我们设\\(STMax[i][j]\\)​：从\\(i\\)​开始的区间长度为\\(2^j\\)​的最大值，即区间范围为\\([i,2^j-1]\\)​​。

那么很显然，对于原数组\\(A[]\\)，我们有\\(A[i]=STMax[i][0]\\)​。我们直接读入即可。（不用再建立\\(A[]\\)数组）

    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&st[i][0]);
    }

我们如何去维护好\\(STMax[i][j]\\)​呢，很简单，根据\\(max\\)​最大值的一个性质，\\(max(1,2,3,4)=max(max(1,2),max(3,4))\\)​。是不是看到公式就头晕，让我们来举个例子。

假设已知区间\\([1,2][3,4]\\)的最大值分别为\\(a,b\\)，我们要求\\([1,4]\\)的最大值，只需要求\\(max(a,b)\\)。

好，我们继续深入，如果要求\\([1,8]\\)的最大值，我们只需要求出\\([1,4],[5,8]\\)​​的最大值，然后在他们之中再取最大值即可。一直递增，我们可以求出更多的最大值，这个便是区间动态规划。

所以我们可以维护好区间长度，不断递推出更多的区间长度。（看不懂没关系，看下文分析）

我们上文说到，我们对所有\\(STMax[i][0]\\)​​​进行赋值，他们的区间长度都是1，最大值都是原数据\\(A[i]\\)​​​​本身。那么我们是不是得到了所有长度为1的区间的最大值？，因此我们可以去求长度为2的区间的最大值。

接下来我来分析前三步。

• 求长度区间为2的最大值

根据\\(max(max([1])，max([2]))\\)我们可以得到\\([1,2]\\)这个长度为2的区间的最大值，同样的，我们能得到\\([2,3],[3,4][4,5]...[N-1,N]\\)所有长度为2的区间的最大值。

• 求长度区间为4的最大值

根据上面举的例子，求出\\([1,4],[2,5],[3,6]....\\)​所有长度区间为4的

• 求长度区间为8的最大值

求出所有长度区间为8，的最大值

...............................................

我们每一步都可以在上一步的基础上得到更大的区间。区间长度不断翻倍增长(不断乘2)，回到我们上面的定义：我们设\\(STMax[i][j]\\)​：从\\(i\\)​开始的区间长度为\\(2^j\\)​的最大值，所以我们在声明数组的大小的时候，第二维的最大值为整个区间的长度的对数。一般我都设置为21（大概\\(2^{21}=2e6\\)​​）

• 声明ST表

int STMax[N][21];

• 维护ST表的代码如下

仔细看代码，别看到符号就觉得难。\\((1<<j)\\)代表的是\\(2^j\\)

    for(int j=1;j<=log(n);j++){//j代表的是区间长度，n代表原数组的长度，区间长度要<=log(n),原因查看j的实际含义。
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){//右区间不能越界
            STMax[i][j]=max(STMax[i][j-1],STMax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }

查询

我们预处理完\\(STMax[i][j]\\)​​以后，我们就知道了从任意位置\\(i\\)​​开始，区间长度为任意一个2的整数幂的一个区间（\\([i,i+2^k-1]\\)​​​​）的最大值。

不妨问问自己，我们建立这样的数据结构有什么意义呢？

假设，我们现在需要求解[1,4]之间的最大值。

我们可以根据我们的\\(STMax[i][j]\\)​直接求得，其结果为\\(STMax[1][2]\\)​。

但是，如果我们需要求解区间长度为6，\\([3,8]\\)的最大值，我们该如何是好？

我们不能根据我们建立的\\(STMax[i][j]\\)直接得到答案。因为我们区间的长度只有2的整数次幂，如果从3开始，让\\(j=2,STMax[3][2]\\)代表的是\\([3,6]\\)的最大值，如果我们让\\(j=3,STMax[3][3]\\)代表的是\\([3,10]\\)​的最大值，明显就超出了我们要求的区间。

我们可以根据上文说到的\\(max\\)​可以相互嵌套的性质。

如果我们求出\\([3,6][5,8]\\)区间的最大值，然后再取最大值不就是\\([3,8]\\)区间的最大值了吗?

所以我们的策略是这样，对于\\([l,r]\\)​的区间，即次区间长度为\\(le=r-l+1\\)​，我们可以构建两个长度为\\(log_2^{le}\\)​的相交区间。这个值很巧妙，会确保两个区间之并集一定覆盖整个区间，还请读者细细体会。

因此对于一个区间的查询

int query(int l,int r ){
    int k=log(r-l+1);
    return max(STMax[l][k],STMax[r-(1<<k)+1][k]);
}

我们反复求解\\(log(r-l+1)\\)也挺浪费时间的，所以我们可以预处理，建立\\(log[]\\)数组

    for(int i=2;i<N;i++){
        lg[i]=lg[i/2]+1;
    }

算法模板

以洛谷的模板题解完结此篇文章。

模板题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int STMax[N][23];
int lg[N];
int query(int l,int r ){
    int k=lg[r-l+1];
    return max(STMax[l][k],STMax[r-(1<<k)+1][k]);
}

int main() {
    int n,m;
    for(int i=2;i<N;i++){
        lg[i]=lg[i/2]+1;
    }
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&STMax[i][0]);
    }
    for(int j=1;j<=log(n);j++){
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
            STMax[i][j]=max(STMax[i][j-1],STMax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
    while(m--){
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\\n",query(l,r));
    }

}