算法详解——st表

Posted 2021-01-22 ackers

st表是解决区间RMQ（区间最值问题）的一类算法，时间复杂度为O（nlogn）的预处理和O（1）的查询，其主要运用了类似倍增的思想...

总体来说，st表的用处还是挺大的，代码也比较短，容易记...

 

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st表

 

若现在给定一个长度为n的序列A，每次给定两个数l，r，求出A[l]~A[r]中的最大值...

那么我们考虑怎么做，首先是朴素做法，每次询问最大值时用for循环从l到r跑一遍，每次循环复杂度为O（r - l）

那有没有一种算法可以让我们以O（1）的复杂度就知道最大值呢？

这时我们引进st表算法...

 

具体做法：

我们定义一个二维数组st[i][j]表示区间[i,i+2^j-1]里的最大值，那么有st[i][0] = A[i]，即A[i]是区间[i,i]的最大值，然后我们运用倍增的思想，每次维护区间最值就行了，预处理的代码如下：

inline void init()
{
    for(int i = 1;i <= n;i ++) st[i][0] = a[i]; 
    for(int j = 1;j <= 21;j ++)
        for(int i = 1;(i + (1<<j) - 1) <= n;i ++)
            st[i][j] = max(st[i][j - 1],st[i + 1<<(j - 1)][j - 1]);
}

 

关于查询，我们需要先对查询区间的长度取一个对数k，那么2^k一定大于等于区间长度的一半，接着我们从左右两个端点处向内取最大值（即使有重叠也没事），这样我们就O（1）的查询出了区间的最大值，代码如下：

inline int query(int l,int r)
{
    int k = log(r - l + 1);
    return max(st[l][k],st[r - (1<<k) + 1][k]);
} 

 

下面有一道板子题

洛谷P3865

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

const int maxn = 1e5 + 5;
int n,m;
int st[maxn][23];

inline int read()
{
  char ch = getchar();int x = 0,f = 1;
  while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch == ‘-‘) f = -1; ch = getchar();}
  while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x = x*10 + ch -‘0‘; ch = getchar();}
  return x*f;
}

inline void init()
{
  for(int i = 1;i <= 21;i ++)
    for(int j = 1;j+(1<<i)-1 <= n;j ++)
      st[j][i] = std::max(st[j][i-1],st[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}

inline int query(int l,int r)
{
  int k = log2(r-l+1);
  return std::max(st[l][k],st[r-(1<<len)+1][k]);
}

int main(int argc, char const *argv[]) 
{
  n = read();
  m = read();
  for(int i = 1;i <= n;i ++) st[i][0] = read();
  init();
  for(int i = 1;i <= m;i ++)
  {
    int l = read();
    int r = read();
    printf("%d
",query(l,r));
  }
  return 0;
}