84.柱状图中最大的矩形

Posted 2021-05-19 日积跬步

题目

原题链接：https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/

给定\\(n\\)个非负整数，用来表示柱状图中各个柱子的高度。每个柱子彼此相邻，且宽度为\\(1\\)。

求在该柱状图中，能够勾勒出来的矩形的最大面积。

示例：

以上是柱状图的示例，其中每个柱子的宽度为\\(1\\)，给定的高度为[2,1,5,6,2,3]。

图中阴影部分为所能勾勒出的最大矩形面积，其面积为10个单位。

输入: [2,1,5,6,2,3]
输出: 10 

注意：

解题思路

枚举高的方法：

• 首先枚举某一根柱子\\(i\\)作为高\\(h = \\textit{heights}[i]\\)

• 随后需要进行向左右两边扩展，使得扩展到的柱子的高度均不小于\\(h\\)。即，需要找到左右两侧最近的高度小于\\(h\\)的柱子，这样这两根柱子之间（不包括其本身）的所有柱子高度均不小于\\(h\\)，并且就是\\(i\\)能够扩展到的最远范围

如何求出一根柱子的左侧且最近的小于其高度的柱子？使用栈！

对于两根柱子\\(j_0\\)以及\\(j_1\\)，如果\\(j_0 < j_1\\)并且\\(\\textit{heights}[j_0] \\geq \\textit{heights}[j_1]\\)，那么对于任意的在它们之后出现的柱子\\(i\\)（\\(j_1 < i\\)），\\(j_0\\)一定不会是\\(i\\)左侧且最近的小于其高度的柱子。

即，如果有两根柱子\\(j_0\\)和\\(j_1\\)，其中\\(j_0\\)在\\(j_1\\)的左侧，并且\\(j_0\\)的高度大于等于\\(j_1\\)，那么在后面的柱子\\(i\\)向左找小于其高度的柱子时，\\(j_1\\)会挡住\\(j_0\\)，\\(j_0\\)就不会作为答案了。

这样一来，可以对数组从左向右进行遍历，同时维护一个栈，其中按照从小到大的顺序存放了一些\\(j\\)值。根据上面的结论，如果存放了\\(j_0, j_1, \\cdots, j_s\\)，那么一定有\\(\\textit{height}[j_0] < \\textit{height}[j_1] < \\cdots < \\textit{height}[j_s]\\)，因为如果有两个相邻的\\(j\\)值对应的高度不满足\\(<\\)关系，那么后者会挡住前者，前者就不可能作为答案了。

例子：[6, 7, 5, 2, 4, 5, 9, 3]，需要求出每一根柱子的左侧且最近的小于其高度的柱子。初始时的栈为空。（如果是元素是单调增的，则直接入栈，左方最近的小于其高度的柱子，在其左侧一位；如果单调减，则出栈，直至变成单调增，然后入栈，左方最近的小于其高度的柱子，在其左侧一位）

• 枚举6，因为栈为空，所以6左侧的柱子是哨兵，位置为-1。随后将6入栈：

  • 栈：[6(0)]（这里括号内的数字表示柱子在原数组中的位置）

• 枚举7，由于\\(6<7\\)，因此不会移除栈顶元素，所以7左侧的柱子是6，位置为0。随后将7入栈：

  • 栈：[6(0), 7(1)]

• 枚举5，由于\\(7\\geq 5\\)，因此移除栈顶元素7。同样地，\\(6 \\geq 5\\)，再移除栈顶元素6。此时栈为空，所以5左侧的柱子是哨兵，位置为−1。随后将5入栈：

  • 栈：[5(2)]

接下来的枚举过程也大同小异。

• 枚举2，移除栈顶元素5，得到2左侧的柱子是哨兵，位置为−1。将2入栈：

  • 栈：[2(3)]

• 枚举4、5和9，都不会移除任何栈顶元素，得到它们左侧的柱子分别是2、4和5，位置分别为3、4和5。将它们入栈：

  • 栈：[2(3), 4(4), 5(5), 9(6)]

• 枚举3，依次移除栈顶元素9、5和4，得到3左侧的柱子是2，位置为3。将3入栈：

  • 栈：[2(3), 3(7)]

这样一来，得到它们左侧的柱子编号分别为[-1, 0, -1, -1, 3, 4, 5, 3]。

用相同的方法，从右向左进行遍历，也可以得到它们右侧的柱子编号分别为[2, 2, 3, 8, 7, 7, 7, 8]，这里将位置8看作哨兵。

在得到了左右两侧的柱子之后，就可以计算出每根柱子对应的左右边界，并求出答案了。

当从左向右或者从右向左遍历数组时，对栈的操作的次数就为\\(O(N)\\)。所以单调栈的总时间复杂度为\\(O(N)\\)。

代码实现

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.Deque;
import java.util.LinkedList;

/**
 * 84. 柱状图中最大的矩形
 * @date 2021/5/17
 * @author chenzufeng
 */

public class No84_LargestRectangle {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        String[] strings = reader.readLine().split(",");
        int[] heights = new int[strings.length];
        for (int i = 0; i < strings.length; i++) {
            heights[i] = Integer.parseInt(strings[i]);
        }

        // System.out.println(Arrays.toString(heights));
        System.out.println(largestRectangleArea(heights));
    }

    public static int largestRectangleArea(int[] heights) {
        int length = heights.length;
        // 从左向右遍历，每一根柱子左侧最近的小于其高度的柱子的位置
        int[] left = new int[length];
        // 从右向左遍历，每一根柱子右侧最近的小于其高度的柱子的位置
        int[] right = new int[length];

        // 使用栈去找左右两侧最近的高度小于当前高度的柱子
        Deque<Integer> stack = new LinkedList<>();

        // 找左侧最近的高度小于当前高度的柱子
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            // 当栈不空，且将出现单调减，则出栈，直至变成单调增，然后入栈
            while (! stack.isEmpty() && heights[stack.peek()] >= heights[i]) {
                stack.pop();
            }
            // 如果栈里是单调增的，则直接入栈，左方最近的小于其高度的柱子，在其左侧一位
            left[i] = (stack.isEmpty() ? -1 : stack.peek());
            stack.push(i);
        }

        stack.clear();
        // 找右侧最近的高度小于当前高度的柱子
        for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {  // 注意这里i从length - 1开始
            // 当栈不空，且将出现单调减，则出栈，直至变成单调增，然后入栈
            while (! stack.isEmpty() && heights[stack.peek()] >= heights[i]) {
                stack.pop();
            }
            // 如果栈里是单调增的，则直接入栈，右方最近的小于其高度的柱子，在其右侧一位
            right[i] = (stack.isEmpty() ? length : stack.peek());
            stack.push(i);
        }

        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            ans = Math.max(ans, (right[i] - left[i] - 1) * heights[i]);
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：\\(O(N)\\)。
• 空间复杂度：\\(O(N)\\)。