动态规划：8行代码搞定最大子数组和问题

Posted 2022-03-25 程序员大咖

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作者丨小风哥

来源丨码农的荒岛求生（ID：escape-it）

今天给大家带来一道极其经典的题目，叫做最大和子数组，给定一个数组，找到其中的一个连续子数组，其和最大。

示例：

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 子数组[4,-1,2,1]的和为6，其它任何连续的子数组和不超过6.

想一想该怎样解决这个问题。

如果你一时想不到解法可以从暴利解法开始。

暴力求解

这种解法最简单，我们把所有子数组找出来，然后依次计算其和，找出一个最大的出来，比如给定数组[1,2,3]，那么我们能找出子数组：[1]，[2]，[3]，[1,2]，[2,3]，[1,2,3]，很显然这里和最大的子数组为[1,2,3]，其值为6。

int sum(vector<int>&nums, int b,int e)
    int res = 0;
    for (; b <= e; b++) 
        res += nums[b];
    
    return res;

int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    int size = nums.size();
    int res = 0x80000000;
    for (int i = 0; i < size; i++) 
        for (int j = i; j < size; j++) 
            res = max(res, sum(nums, i, j));
        
    
    return res;

这种解法最简单，该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中找出所有子数组的时间复杂度为O(n^2)，计算每个子数组的和的时间复杂度为O(n)，因此其时间复杂度为O(n^3)。

让我们再来看一下这个过程，这里的问题在于计算每个子数组的和时有很多重复计算，比如我们知道了子数组[1,2]的和后再计算数组[1,2,3]的值时完全可以利用子数组[1,2]的计算结果而无需从头到尾再算一遍，也就是说我们可以利用上一步的计算结果，这本身就是动态规划的思想。

基于该思想我们可以对上述代码简单改造一下：

int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    int size = nums.size();
    int res = 0x80000000;
    for (int i = 0; i < size; i++) 
        int sumer = nums[i];
        res = max(res, sumer);
        for (int j = i + 1; j < size; j++) 
            sumer += nums[j];
            res = max(res, sumer);
        
    
    return res;

看到了吧，代码不但更简洁，而且运行速度更快，该算法的时间复杂度为O(n^2)，比第一种解法高了很多。

还有没有进一步提高的空间呢？

答案是肯定的。

分而治之

我们在之前的文章中说过，分治也是一种非常强大的思想，具体应该这里的话我们可以把整个数组一分为二，然后子数组也一分为二，不断划分下去就像这样：

然后呢？

然后问题才真正开始有趣起来，注意，当我们划分到最下层的时候，也就是不可再划分时会得到两个数组元素，比如对于数组[1,2]会划分出[1]与[2]，此时[1]与[2]不可再划分，那么对于子问题[1,2]，其最大子数组的和为max(1+2, 1,2)，也就是说要么是左半部分的元素值、要么是右半部分的元素值、要么是两个元素的和，就这样我们得到了最后两层的答案：

假设对于数组[1,2,3,4]，一次划分后得到了[1,2]与[3,4]，用上面的方法我们可以分别知道这两个问题的最大子数组和，我们怎样利用上述的答案来解决更大的问题，也就是[1,2,3,4]呢？

很显然，对于[1,2,3,4]来说，最大子数组的和要么来自左半部分、要么来自右半部分、要么来自中间部分——也就是包含2和3，其中左半部分和右半部分的答案我们有了，那么中间部分的最大和该是多少呢？

其实这个问题很简单，我们从中间开始往两边不断累加，然后记下这个过程的最大值，比如对于[1,-2,3,-4,5]，我们从中间的3开始先往左边累加和是:1+(-2)+3, (-2)+3, 3也就是2,1,3，因此我们以中间数字为结尾的最大子数组和为3：

另一边也是同样的道理，只不过这次是以中间数字为起点向右累加：

然后这三种情况中取一个最大值即可，这样我们就基于子问题解决了更大的问题：

此后的道理一样，最终我们得到了整个问题的解。

根据上面的分析就可以写代码了：

int getMaxSum(vector<int>& nums, int b, int e) 
    if (b == e) return nums[b];
    if (b == e - 1) return max(nums[b], max(nums[e], nums[b]+nums[e]));
    int m = (b + e) / 2;
    int maxleft = nums[m];
    int maxright = nums[m];
    int sum = nums[m];

    for (int i = m + 1; i <= e; i++) 
        sum += nums[i];
        maxright = max(maxright, sum);
    

    sum = nums[m];
    for (int i = m - 1; i >= b; i--) 
        sum += nums[i];
        maxleft = max(maxleft, sum);
    
    return max(getMaxSum(nums, b, m - 1), max(getMaxSum(nums, m + 1, e), maxleft+maxright-nums[m]));

int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    return getMaxSum(nums, 0, nums.size()-1);

上述这段代码的时间复杂度为O(NlogN)比第二种方法又提高了很多。

动态规划

实际上这个问题还有另一种更妙的解决方法，我们令dp(i)表示以元素A[i]为结尾的最大子数组的和，那么根据这一定义则有：

这是很显然的，注意dp(i)的定义，是以元素A[i]为结尾的最大子数组的和，因此dp(i)的值要么就是A[i]连接上之前的一个子数组，那么不链接任何数组，那么最终的结果一定是以某个元素为结尾的子数组，因此我们从所有的dp(i)中取一个最大的就好了，依赖子问题解决当前问题的解就是所谓的动态规划。

有了这些分析，代码非常简单：

int maxSubArray(vector<int>& nums) 
    int size = nums.size();
    vector<int> dp(size, 0);
    int res = dp[0] = nums[0];
    for (int i = 1; i < size; i++) 
        dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
        res = max(res, dp[i]);
    
    return res;

这段代码简单到让人难以置信，只有8行代码，你甚至可能会怀疑这段代码的正确性，但它的确是没有任何问题的，而且这段代码的时间复杂度只有O(N)，这段代码既简单运行速度又快，这大概就是算法的魅力吧，关于动态规划后续在小风算法这个公众号里会有系统性总结，我保证你可以看懂。

-End-

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