马尔可夫链 ▏小白都能看懂的马尔可夫链详解

Posted 2022-02-05 Wang_AI

1.什么是马尔可夫链

在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。

在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。

2.一个经典的马尔科夫链实例

用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。

举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。

这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。

假设状态序列为

由马尔科夫链定义可知，

时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：

既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。看一个具体的例子。

这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。

每一个状态都以一定的概率转化到下一个状态。比如，牛市以0.025的概率转化到横盘的状态。这个状态概率转化图可以以矩阵的形式表示。如果我们定义矩阵阵P某一位置P(i, j)的值为P(j|i)，即从状态i变为状态j的概率。另外定义牛市、熊市、横盘的状态分别为0、1、2，这样我们得到了马尔科夫链模型的状态转移矩阵为：

当这个状态转移矩阵P确定以后，整个股市模型就已经确定！

3.状态转移矩阵

从上面的例子不难看出来，整个马尔可夫链模型的核心是状态转移矩阵P。那这个矩阵P有一些什么有意思的地方呢？接下来再看一下。

以股市模型为例，假设初始状态为t0=[0.1,0.2,0.7] ，然后算之后的状态。

最终输出结果为

从第18次开始，状态就开始收敛至[0.624,0.312,0.0625] 。最终数字上略有不同，只是计算机浮点数运算造成的罢了。

如果我们换一个初始状态t0 ，比如[0.2,0.3.0.5] 继续运行上面的代码，只是将init_array变一下，最后结果为：

到第18次的时候，

又收敛到了[0.624,0.312,0.0625] 

这个转移矩阵就厉害了。不管我们的初始状态是什么样子的，只要状态转移矩阵不发生变化，当n→∞ 时，最终状态始终会收敛到一个固定值。

在矩阵分析，自动控制原理等过程中，经常会提到矩阵的幂次方的性质。我们也看看这个状态转移矩阵P的幂次方有什么有意思的地方？直接上代码。

代码运行结果为

从第20次开始，结果开始收敛，并且每一行都为[0.625,0.312,0.0625] 。

4.马尔可夫链细致平稳条件

首先，马尔科夫链要能收敛，需要满足以下条件：

1.可能的状态数是有限的。

2.状态间的转移概率需要固定不变。

3.从任意状态能够转变到任意状态。

4.不能是简单的循环，例如全是从x到y再从y到x。

以上是马尔可夫链收敛的必要条件。

假设有一个概率的单纯形向量

有一个概率转移矩阵P PP，例如我们前面的例子：

其中，v0 每个元素的取值范围为[0,1]，并且所有元素的和为1。而P 的每一行也是个概率单纯形向量。

由前面的例子我们不难看出，当v0 与P 的n次幂相乘以后，发现得到的向量都会收敛到一个稳定值，而且此稳定值与初始向量v0 无关！

那么所有的转移矩阵P 都有这种现象嘛？或者说满足什么样的条件的转移矩阵P会有这种现象？

细致平衡条件（Detailed Balance Condition）：给定一个马尔科夫链，分布π和概率转移矩阵P，如果下面等式成立:

则此马尔科夫链具有一个平稳分布（Stationary Distribution)。

证明过程比较简单：

上式取j→∞ ，就可以得到矩阵表达式：

5.马尔可夫链收敛性质

如果一个非周期的马尔可夫链收敛，有状态转移矩阵P，并且任何两个状态都是连通的，那么

π是方程πP=π 的唯一非负解，其中：

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文章来源：CSDN博主「bitcarmanlee」

原文链接：https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/java/article/details/82819860