由陌生到认识——微积分

Posted 2022-02-04 读书叔叔

你好，微积分，希望可以认识你…

呃！同学，你好，你想认识我，得先认识导数和积分，我其实是导数和积分的合体。

嗯！好吧！那我先了解一下什么是导数吧！

导数是什么？什么是导数？

导数是用来分析变化的一种工具。

那么，什么是变化率呢？首先变化就是变化的意思。例如孙悟空的七十二变，有七十二般变化。变化率是指在某一变化过程中的变化势头（是激烈还是缓慢），比如自行车爬坡的速度，从坡谷到坡顶的过程中，速度会随着功率输出和坡度的不同有不同的变化，速度变化最激烈是那一个点呢？ 坡度也会变化，最陡最峭的是那一段呢？ 这些，用导数就可以数值化表示。

导数有什么用？

现实生活中可以通过导数来推导很多变化趋势，及早规防、准备将进行的事，例如天气预报、股票分析、图像处理，又或者预测某人有无喝醉了酒，等等。

怎样计算导数呢？

求导数即是求变化率，比较形象的计算方法是计算一条斜坡的斜率，假如这个坡没有高低起伏，像一条斜线，则它的斜率是恒定的，计算也很简单，从中(a)取一段距离(x)，用x距离后的位置减取x时的位置除以x就是计算这段距离的斜率的方法，写成公式： $斜率=(f(a+x)-f(a))/x$。

大家好，下面有位新人叫“极限”

求导，里面有一个称为“极限”的东西，什么是“极限”呢？ 比如做俯卧撑，一直做下去，总有一个数是你不能达到，但又可以无限接近的，这个数就是你做俯卧撑的极限，当你无限接近这个极限时你会出现什么情况，这个情况就是“导数”，千万不要把手都撑断了。

导数公式

$y=f(a)$ 的斜率可以这样表示： ${\lim }_{x\to 0}^{}\frac{f(a+x)-f(a)}{x}$

这个公式叫做函数f(a)的导函数，意思是： 当x无限接近0时，变化的结果是什么。

导函数可以用$f^{\prime }(a)$表示，读做“f撇a”。

完整的导函数式： $f^{\prime }(a)={\lim }_{x\to 0}^{}\frac{f(a+x)-f(a)}{x}$ 这个公式称为基本求导公式

导数还有另外一种表示方法，对函数f(x)关于x的求导，可以表示为： $\frac{dy}{dx}$

也可以表示为： $\frac{df(x)}{dx}$

以可以表示为： $\frac{d}{dx}f(x)$

这里的d是英语“derivative(导数)"的第一个字母，上面几种方法表示对分子中的函数求关于分母中的变量的导数，与f撇的写法区别是，它明确表示出关于什么求导。

导数简单计算公式

1. $p^{\prime }=0$ p为常数时，没有变化，所以p的导数是0。
2. $(px)’ = p $ p为常数，关于x求导，实际是求直线的斜率，直线的倾斜p，斜率就是p，所导数为p。
3. ${f(x)+g(x)}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ 对两个函数的和——f(x)+g(x)求导会得到f’(x)+g’(y)，这个是重要公式。
4. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{(n-1)}$ 这是使用很频繁的公式，可以通过基本求导公式推导出来。
5. $f(x)g(x){}^{\prime }=f(x{)}^{\prime }g(x)+f(x)g(x{)}^{\prime }$ 这是函数积求导的公式

导数的结尾

到此，大概也认识了导数，通过多点练习去加深印象吧，下面我们说说积分。

Hello，大家好，轮到我积分出场了，我这个积分可不是大家在某场所消费后获得的分数呵！

什么是积分？

积分是导数的逆运算，二者就像硬币正反面，也像镜外的实体和镜中的影像。利用积分可以求出变化的规律和不规则图形的面积。

哈哈！ 积分最早就是用来求圆形的面积的。

积分的表示方法

用符号$\int$ 表示积分，这个符号和 $f$ 有点相似， 笔画比 $f$ 少了一小点，大家还记得导数的符号吗？
导数的符号$f^{\prime }$， 它比$f$多了一点，导数积分的中分正是原函数。

看看下面两个式子：

1. 读法： 求函数f(x)关于x的积分，表示法： $\int f(x)dx$

2. 读法： 求函数f(x)关于y的积分， 表示法： $\int f(x)dy$

通过式子可以知道，求关于什么的积分，这个“什么”就要写$d$后面，例如上面求关于x时写成$dx$。

积分计算

积分是导数的逆运算，逆运算是倒过来算的意思，如果要计算 $\int f(x)dx$， 只需要考虑“关于x求导得到f(x)的函数是什么"，就可以算出积分。

来点例子？

$\int x^{2}dx$ : 关于x求导得到$x^2$ 的函数是什么呢？用前面认识的求导公式计算
$x^3$求导得多少？ 是$3x^2$， 想办法把3去掉，就可以得到$x^2$了
对$(\frac{1}{3}{x}^3{)}^{\prime }$求导，就可以得到$(\\frac 13 \\times x^3)’ = \\frac13 \\times 3x^2 = x^2 $
所以上面关于 $x^2$ 求 x 的积分的解是： $\frac{1}{3}{x}^3$

但是
求导后得到$x^2$的函数可不止 $\frac{1}{3}{x}^3$，例如 $\frac{1}{3}{x}^3+3$， $\frac{1}{3}{x}^3+4$ 等等的原函数，经过求导后得到的也是 $x^2$ ， 因为对常数项求导等于0， 上面公式：$p^{\prime }=0$ 。

所以，如果只说求积分，我们可以得到很多答案，为此，人们想出了一种汇集所有答案的表示方法：

$\int x^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^3+C$ （C 称为积分常数，是英文单词：Constant(常数) 的首字母）

重点：含有积分常数的积分叫做不定积分。 因为常数有无限多个，所以用“不定”来表达。

对比一下：

• 对f(x）求导得到的函数叫做导函数——导数。

• 对f(x)的求不定积分得到的函数叫原函数——积分。

• 导数表示变化，积分是变化的集合。

从不定积分到定积分

很少会有求不定积分的题目，都说了“不定”，无法求出具体答案的，求积分时，通常要增设一些条件，通过条件巧妙地把积分常数C消掉，固定了条件的积分称为“定积分”。

• 不定积分： $\int f(x)dx$
• 定积分： ∫ a b

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