求大神给个数学排列组合的各种题型以及解法，本人数学渣渣，如果我数学真能提高上去，我会内牛满面的^ω

Posted 2023-05-06

求大神给个数学排列组合的各种题型以及解法，本人数学渣渣，如果我数学真能提高上去，我会内牛满面的^ω^

参考技术A 排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不 能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34 （3）3 4 【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有6 7种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ） A、3 8 B、8 3 C、38A D、3 8C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有3 8种 不同的结果。所以选A 二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列 【例1】,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数
有 【解析】：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4 424A种 【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，2222 3242CAAA=432 种 ☆ 其中男生甲站两端的有12222 23232ACAAA=144，符合条件的排法故共有288 三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】
七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是 52563600AA种 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有
种不同的插法（具体数字作答） 【解析】： 111789AAA=50 4 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 【解析】：不同排法的种数为5256AA＝3600 【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是 【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有25A＝ 20种不同排法。 【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目， 但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变， 则该晚会的节目单的编排总数为
种. 【解析】：111 91011AAA=990 【例6】.马路上有编号为1，2，3„，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三 盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C种方法,所以满足条件的关灯方案有10种. 
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒 模型可使问题容易解决. 
【例7】  3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？ 【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个空 中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都空位的排法有 
3314AA=24种. 
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A3
4=24种. 
【例8】  停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ 
【解析】：先排好8辆车有A88种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9 
个空档中任选一个，将空车位置插入有C19种方法，所以共有C19A88种方法.      
注：题中*表示元素，○表示空. 
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 
素；再排其它的元素。 
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四 人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（    ） 
     A. 36种            B. 12种           C. 18种            D. 48种 
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。2333A36A 
 方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法243
31212ACC；若小张、小赵都入选，则有 选法122
322AA，共有选法36种，选A. 
【例2】  1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【解析】：老师在中间三个位置上选一个有13A种，4名同学在其余4个位置上有4
4A种方法；所以共有
143472AA种。. 
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】 法一：1656A3600A   法二： 2565
3600AA   法三：36006
66677AAA 五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考♂资♀源€网    ☆
 
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（     ）      A、36种      B、120种      C、720种     D、1440种 （2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为 
（A）510515AA  
（B）3
355510515AAAA （C）1515A
 （D）3
355510515AAAA     
（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共6
6720
A种，选C.
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  （2）答案：C 
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有2
4A种，某1个元素排在后半段的四个
位置中选一个有1
4A种，其余5个元素任排5个位置上有5
5A种，故共有1254455760AAA种排法. 
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小
倍数的方法. 
【例1】.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是（    ）
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【解析】：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
5
51602
A种 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？
 
【解析】：法一：3
9A             法二：996
6
1AA 
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的原
则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？  
   【解析】：法一：36A          法二：6633
1AA  六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排 
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（     ）     A、6种      B、9种      C、11种     D、23种
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【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9 种填法，选B. 
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中 有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（    ）                A 10种      B 20种       C 30种           D 60种  答案：B 
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡， 则4张贺年卡不同的分配方式共有(   )    （A）6种  
（B）9种 
 
（C）11种  
（D）23种     
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。           第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；           第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的， 
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有3129
()种分配方式。     故选（B） 【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有(   )
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  （A）60种  （B）44种  （C）36种  （D）24种         
    答案：B  
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法 
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆考♂资♀源€网   ☆
 
（1） 分成1本、2本、3本三组； 
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； （3） 分成每组都是2本的三个组； （4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本； （5） 分给5人每人至少1本。 
【解析】：（1）33251
6CCC   （2）33
332516ACCC  （3）3
3222426ACCC （4）2
22426CCC  （5）211111
5554321544
CCCCCCAA 
http://wenku.baidu.com/link?url=upz7aQdgsrkzJ7Zpnf8ys5C4fKq6sdhKMg5r5FQp4wJoSCbhrg7-acO-91tWCZLYFS7vHHrJhFppMeq94GWgZ8NhmPiT4EnyQ8UB4Y_yVBy我给你个网站你自己去看吧。这种东西看我觉得没有用。我建议你找个数学老师给你恶补一下这一块才比较好。而且你需要自己多做题学会总结。别人总结出来的是别人的想法不是你的没用。数学看笔记什么的没有用。希望对你有帮助希望你数学进步。 参考技术B 分同类和不同类考虑。分部用乘，分类用加。追答

分步

追问

额，你这说的，我也知道→_→

追答

嗯，你自己多做题呗

参考技术C 特殊元素优先考虑追答

相邻捆绑，不相邻就插。就记住这三点，差不多就行了。这题不会考大题的

追问

行！

最多7次比较解决5个数的排序问题的解法

　　这一篇是上一篇《12(13)个球1个不同重量称3次称出的详细分析》的姊妹篇，分析手段同出一辙，此题源于《算法导论》。

　　和上面一样分析，5个数的排列总共有5!=120种，排序的本质是从这120种排列中确定其中的一种；而每次比较会有两种结果，小于、大于等于。7次比较总共有2⁷=128种结果，用最多128种比较结果去分辨120种排列，是有可能的。解答过程中充斥着大量的排列组合计算以计算出各种选择所要分辨的可能性数量，计算起来可能并不轻松。时刻要记住一点，不断用信息论下界来排除可能，但信息论下界只能用于排除，而无法做到肯定。

　　

　　用圈和叉代表数，两个数之间如果存在连线，代表线上面的数大于等于线下面的数。

　　每一步两个叉代表本步选择来比较的两个数。

　　当5个数用一条线串在一起，当然就是排序结束。

　　同一行可能有多种情况，我都标了出来。