二分算法 原理 及 复杂度 详解

Posted 2023-03-08 GoldenaArcher

二分算法原理及复杂度详解

• • 二分搜索的基础原理
  • • 二分的基础案例
  • 二分搜索的复杂度
  • • 空间复杂度
    • 时间复杂度

binary search，常见的翻译有二分查找、二分搜索、折半搜索(这用的名词是 half-interval search)、对数搜索(这里用的名词是 logarithmic search)，是一种非常常见并且应用范围也比较广泛的搜索算法。

之前曾看到过一个说法：凡是有序，皆是二分，大概也能说明二分搜索的应用之广泛了。

二分搜索的基础原理

二分可以被用于查找 有序数组 中的某一个特定元素，其工作原理是查找一个 既定值，target 从 数组, arr 的 中点，mid 开始查找，判断 $arr[mid]$ 的值，存在以下三种情况：

1. 如果 $target=arr[mid]$，则找到 target，直接返回 mid
2. 如果 $target<arr[mid]$，则代表 target 坐落于 $[\mathrm{0...}mid)$ 区间
3. 如果 $target>arr[mid]$，则代表 target 坐落于 $(mid...arr.length)$ 区间

这种每迭代一次就会将可选项的数量折半，也是折半搜索名词的来源。

这里也会应用到双指针去确认搜索的区间，关于双指针的知识点细节可以看这里：双指针总结。

二分的基础案例

以一个数组作为案例去进行二分查找的步骤，目标值 target 为 1，数组为：

1

4

10

12

17

18

21

25

1. 确认 最大值 ，最小值 和 中点

   这里最大值 是 $arr.length-1$，也就是 7，最小值 是数组的起点长度，也就是 0，中点 的计算稍微麻烦一些—— $(0+7)÷2=3.5$，这里会进行向下取整，所以 中点 为 3。

   1

   4

   10

   12

   17

   18

   21

   25

   对比 target 和 $arr[mid]$，明显能够看出 $1<12$，所以在下一个迭代中可以将最大值更新为 $mid-1$。

2. 更新 最大值 ，最小值 和 中点

   这里最大值 是 $mid-1$，也就是 2，最小值 依旧是数组的起点长度，也就是 0，中点 就为 1。

   1

   4

   10

   12

   17

   18

   21

   25

   对比 target 和 $arr[mid]$，明显能够看出 $1<4$，所以在下一个迭代中可以将最大值更新为 $mid-1$。

3. 更新 最大值 ，最小值 和 中点

   这里最大值 是 $mid-1$，也就是 1，最小值 依旧是数组的起点长度，也就是 0，中点 就为 0.5 向下取整，还是 0。

   1

   4

   10

   12

   17

   18

   21

   25

   鉴于 红+蓝=紫，所以这里将 1 的颜色更新成紫色，表示这既是起点，也是中点。

   继续对比 target 和 $arr[mid]$，已经找到了对应值，便可以直接返回 mid 作为 index 了。

这就是一个完整的二分搜索的流程。

二分搜索的复杂度

接下来会对时间复杂度和空间复杂度进行分析。

空间复杂度

空间复杂度是很简单的，根据上面的流程可以得知，在整个二分搜索的过程中，只需要额外存储三个变量：最大值 ，最小值 和 中点，也因此，空间复杂度是常量 $O(1)$。

时间复杂度

时间复杂度是 $O(log(n))$，其计算方法会稍微复杂一些，现在就开始从头分析。

已知数组的长度为 $n$，每一次数组的长度都会折半，一直到数组长度为 1：

$n,\frac{n}{2},\frac{n}{4},...1$

所以又可以理解成：

$n\times (\frac{1}{2}{)}^k=1$

即，$n$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 的 $k$ 次方后的值为 1。这个方程式再简化一下就能得到：

$n\times \frac{1}{2^k}=1$

最后得出：

$n=2^k$

最后应用对数公式，自然能够得出：

$k={\log }_{2}n$

而在算法中计算空间复杂度和时间复杂度时，是可以忽略掉对数的底的这些常数的，因此时间复杂度也就可以缩写成 $log(n)$。