算法中的时间复杂度

Posted 2023-03-04 c人生的旅途

概述

程序员写代码过程中总要用到算法，而不同的算法有不同的效率，时间复杂度是用来评估的算法的效率的一种方式。

比如说对于一个功能，可以实现的方法很多种，我们在实现过程中选择效率最佳的方式来实现，它影响了我们在一定的场景下选择的数据结构和算法，比如何时选择使用ArrayList，何时用LinkedList。

本文结构：

概念
    渐进时间复杂度
场景示例
    场景1
    场景2
    场景3
    场景4
推导出时间复杂度
     时间复杂度计算方式
     常数阶
     线性阶
     平方阶
     立方阶
     对数阶

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概念

在计算机科学中，时间复杂性，又称时间复杂度，算法的时间复杂度是一个函数，它定性描述该算法的运行时间。 时间复杂度常用大O符号表述。 时间复杂度可被称为是渐近的，即考察输入值大小趋近无穷时的情况。

简单理解就是：

• 用 “大O” 表示 “时间复杂度”，示例： O(n)
• 用一个函数表达算法复杂度的值，格式：O( 具体不同的函数 ）
• 它定性的描述“运行时间”
• 它是渐进的，趋向接近的。

渐进时间复杂度

为便于计算时间复杂度，通常会估计算法的操作单元数量，每个单元运行的时间都是相同的。因此，总运行时间和算法的操作单元数量最多相差一个常量系数。

简化的公式表示： 总运行时间 = 操作次数 * 固定时间的运行单元

而算法有很多种，很难直接比较。我们期望“操作次数”是一个常数，而实际它很难直接用常数表示。于是引入了 渐进时间复杂度,官方的定义如下:

渐进时间复杂度（asymptotic time complexity）： 若存在函数 f（n），使得当n趋近于无穷大时，T（n）/ f（n）的极限值为不等于零的常数，则称 f（n）是T（n）的同数量级函数。记作 T（n）= O（f（n）），称O（f（n）） 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

渐进时间复杂度用大写O来表示，所以也被称为大O表示法

场景示例

场景1：

一条长16寸的面包，每1天16寸，需要多少天呢？

太简单了，一天。 函数表示： T(n) = 1

场景2：

一条长16寸的面包，每5天吃掉面包剩余长度的一半，那么把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？

就是数字16不断地除以2，直到等于1？这里要涉及到数学当中的对数，以2位底，16的对数，可以简写为log16。因此，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。 函数表示: T(n) = 5logn。

场景3：

一条长10寸的面包，每3天吃掉1寸，那么吃掉整个面包需要几天？

很简单，即 函数表示: T(n) = 3n。

场景4：

一条长10寸的面包，吃掉第一个一寸需要1天时间，吃掉第二个一寸需要2天时间，吃掉第三个一寸需要3天时间.....每多吃一寸，所花的时间也多一天。那么小吃掉整个面包需要多少天呢？

答案是从1累加到10的总和，也就是55天。即 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。 函数表示: T(n) = 0.5n^2 + 0.5n。

推导出时间复杂度

推导出时间复杂度呢？有如下几个原则：

(1) 如果运行时间是常数量级，用常数1表示； (2) 只保留时间函数中的最高阶项； (3) 如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。

场景1： T(n) = 1 最高阶项为3n，省去系数3，转化后为：T(n) = O(1)

场景2： T(n) = 5logn 最高阶项为5logn，省去系数5，转化后为：T(n) = O(logn)

场景3： T(n) = 3n 最高阶项为3n，省去系数3，转化后为：T(n) = O(n)

场景4： T(n) = 0.5n^2 + 0.5n 最高阶项为0.5n^2，省去系数0.5，转化后为：T(n) = O(n^2) 备注：^ 符号表示 平方，n^2表示 n的平方

这四种时间复杂度究竟谁用时更长，谁节省时间呢？稍微思考一下就可以得出结论：

O(1)< O(logn)< O(n)< O(n^2)

其实这四种对应的时间复杂度是： 常数阶，对数阶，线性阶，立方阶。

常见时间复杂度还有:常数阶、线性阶、平方阶、立方阶、对数阶、nlog2n阶、指数阶 效率：O(1) > O(log2n)> o(n)> o(nlog2n) > o(n^2) > o(n^3) > o(2^n) > o(n!) > o(n^n)

代码中的时间复杂度

时间复杂度计算方式

举例：计算1+2+3+....+n的和

$sum=0

for($i=1;$i<=$n;$i++)
   $sum+=$i

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可以看到循环了n次，所以时间复杂度就是O(n)

常数阶 O(1)

function test($n)
    echo $n;
    echo $n;
    echo $n;

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执行了三次 echo，运行次数很固定，是个常数。那么时间复杂度就是O(3),取为O(1)

线性阶 O(n)

for($i=1;$i<=$n;$i++)
    $sum+=$i

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执行n 次，时间复杂度就是O(n)

平方阶：o(n2)/o(n3)

$sum=0;
for($i=1;$i<=$n;$i++)
    for($j=1;$j<$n;$j++)
    $sum+=$j
    

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两次循环，里面循环执行了n次，外层循环也执行了n次，所以时间复杂度为O(n^2)

立方阶

与上面类似，就是 三个 for 循环

对数阶：O(log2n)

while($n>=1)
    $n=$n/2;

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即不断除以2，

n          n/2        n/2/2      n/2/2/2    n/2/2/...

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规律:n/(2^m)=1;我们需要算出m, 转换成n=2^m,得出m=log2n,所以时间复杂度为O(logn)

END