漫步最优化二十七——二次插值法

Posted 2022-12-13 会敲键盘的猩猩

$\\textbf陪着你，仿佛面朝阳光，$
$\\textbf不管走到哪里都是晴天。$
$\\textbf在蝴蝶飞舞的百花丛中，$
$\\textbf一朵一朵的鲜花因你而香。$
$\\textbf一片云掉在我眼前，$
$\\textbf我捏成你的形状，$
$\\textbf一口一口的吃掉了忧愁。$
$\\textbf我们手牵着手，$
$\\textbf一步两步三步四步，$
$\\textbf看着对方深情的眼眸，$
$\\textbf心照不宣的许下了誓言。$
$\\quad\\textbf——畅宝宝的傻逼哥哥$

在一维优化的近似法中，我们先假定目标函数的近似表达式，通常用低阶多项式。如果我们假定二阶多项式为

$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$$

其中$a_0,a_1,a_2$是常数，那么我们就得到二次插值法。

令

$$p(x_i)=a_0+a_1x_i+a_2x_i^2=f(x_i)=f_i$$

其中$i=1,2,3,[x_1,x_3]$包含$f(x)$的最小值$x^*$。假设$f_i$的值是已知的，那么通过同时求解三个等式可得$a_0,a_1,a_2$，推到出的多项式$p(x)$就是$f(x)$的近似。基于这样的场景，假设$p(x),f(x)$的图像如图1所示，显然，$p(x)$的最小值$\\barx$很靠近 x∗漫步最优化三十七——共轭梯度法

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