bzoj3667: Rabin-Miller算法

Posted 2022-11-28 thy_asdf

传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3667

思路：首先我们说说Miller_Rabin算法

我们发现了费马小定理

那它倒过来对不对呢

如果a^(p-1)=1(mod p),那么p一定是素数吗？

很不幸，是错的

虽然出错概率很低，但是可以被卡

于是我们就给它打补丁

我们又找到了一个二次探测的方法

如果p是质数，那么x^2=1(mod p)只有两个解1,p-1 (-1)

那么它倒过来对不对呢

很不幸，又是错的

但是两个错误算法加到一起，出错概率就很低了

那么我们先随机出一些数a[i]

每次拿出一个数a

先用费马小定理去测试

那么我们就要算a^(n-1)%n

把n-1拆成2^s*d的形式

这样我们就可以顺便进行二次探测了

先算出a^d次方

然后平方s次不就是a^(n-1)吗

平方的时候顺便检查一下

最后再用费马小定理检测即可

可以证明一次检测出错的概率是1/4

那么很多次后就几乎不出错了

然后就是pollard_rho了

设要分解的数是n

如果我们有两个随机数x，y

如果gcd(x-y,n)!=1&&gcd(x-y,n)!=n

那么p=gcd(x-y,n)是n的一个约数

随机根号n次（1，n）的数，就有很大概率有同样的数

那么随机根号p次，就很有可能有两个数的差是p的倍数了

这样我们就会走到一个环上，最后就相遇了、

实现时设计一个随机函数f(x)

设定k为此次暴力跳的路径长

每次倍长

x暴力迭代

每次做差求gcd

达到k次后把y赋为x

形象一点就是两个指针在rho型的东西上走

走到环上相同的点，就可以得到一个p的倍数，p是n的一个因子

然后把这个数和n求gcd，就有可能得到一个约数

先特判n是否为质数

然后因为有可能直接走到n的环，所以如果分解不出n之外的因子那就说明这个随机函数会使你直接走到n的环上，所以再换一个重试即可

拆出一个因数d后递归处理d和n/d即可

还有一点就是快速乘法，这题的模数是longlong的，但是又不想写高精度

一种处理是把乘法看做多次加法，类似快速幂去做

高端的O（1）做法是：

然后就可以解决这道模板题了

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<cstdlib> 
#include<iostream> 
#include<algorithm> 
#define abs(a) (a>0?a:-(a)) 
typedef long long ll; 
const ll a[]=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29; 
using namespace std; 
int cas;ll maxs; 
void read(ll &x) 
     char ch; 
     for (ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()); 
     for (x=0;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0'; 
 
ll gcd(ll a,ll b)return !b?a:gcd(b,a%b); 
ll mul(ll a,ll b,ll p) 
    ll d=((long double)a/p*b+1e-8); 
    ll res=a*b-d*p; 
    res=res<0?res+p:res; 
    return res; 
 
ll qpow(ll a,ll b,ll c) 
    ll res=1; 
    for (;b;b>>=1,a=mul(a,a,c)) 
        if (b&1) res=mul(res,a,c); 
    return res; 
 
   
bool check(ll a,ll n,ll r,ll s) 
    ll x=qpow(a,r,n),pre=x; 
    for (int i=1;i<=s;i++) 
        x=mul(x,x,n); 
        if (x==1&&pre!=1&&pre!=n-1) return 0; 
        pre=x; 
     
    if (x!=1) return 0; 
    return 1; 
 
   
bool MR(ll n) 
    if (n<=1) return 0; 
    ll r=n-1,s=0; 
    while (!(r&1)) r>>=1,s++; 
    for (int i=0;i<9;i++) 
        if (a[i]==n) return 1; 
        if (!check(a[i],n,r,s)) return 0; 
     
    return 1; 
 
   
ll pol_rho(ll n,ll c) 
    //printf("%lld %lld\\n",n,c); 
    ll k=2,x=rand()%n,y=x,p=1; 
    for (ll i=1;p==1;i++) 
        x=(mul(x,x,n)+c)%n; 
        p=y>x?y-x:x-y; 
        p=gcd(n,p); 
        if (i==k) y=x,k+=k; 
        //cout<<"      "<<x<<' '<<y<<endl;
     
    return p; 
 
   
void solve(ll n) 
    //printf("%lld\\n",n); 
    if (n==1) return; 
    if (MR(n))maxs=max(maxs,n);return; 
    ll t=n; 
    while (t==n) t=pol_rho(n,rand()%(n-1)); 
    //printf("t=%lld\\n",t); 
    solve(t),solve(n/t); 
 
   
int main() 
    srand(1564651598); 
    /*ll a,b,c; 
    scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c); 
    printf("%lld\\n",mul(a,b,c));*/
    //for (int i=1;i<=1000;i++) if (MR(i)) printf("%d ",i);puts(""); 
    scanf("%d",&cas); 
    while (cas--) 
        ll x;maxs=0; 
        read(x),solve(x); 
        if (maxs==x) puts("Prime"); 
        else printf("%lld\\n",maxs); 
     
    return 0;