勾股定理与最短路径问题

Posted 2021-04-28 玩转初中数学

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最短路径问题的核心理论是：两点之间线段最短，但在不同情形中，会以不同的方式出现，也就会涉及到不同的思路和方法，比如在这一讲中，主要利用到"两点之间线段最短"和"三角形两边之和大于第三边"(三角形的三边关系本质上还是"两点之间线段最短")，而这一讲，我们主要涉及到立体图形的最短路径问题。

一、立体图形的最短路径问题的解决思路

对于立体图形的最短路径问题，我们一般是利用"横切"或"展开"等手段，将其转换到平面图形中解决，而这种情形不免会在直角三角形中解决，也自然会和勾股定理扯上关系

二、利用"横切"，转换成平面图形

【例】

如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一只14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？

(注：内径即底面直径)

【分析】

若使吸管露出杯口最短，自然留在杯中最长，而最长莫过于下列情况：

这样，按照上图将圆柱"横切"，就可以将其转换到RT△ACB中解决，而AB可有勾股定理解得：AB=13cm，所以吸管露出杯口的最短长度AD=BD-AB=1cm

【练习题】

如图，将一根25cm长的细木棒，放入长、宽、高分别为8cm、6cm、10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少？(保留1位小数)。

三、利用"展开"，转换成平面图形

这类问题又可以细分为两种情形：直面(正方体或长方体)和曲面(圆柱)，但无论直面或曲面，一般都是展开为矩形，进而利用勾股定理解决

【例】直面(正方体或长方体）

【分析】

研究在表面从点M到点C的最短路径，可以将正方体表面局部展开：

根据“两点之间线段最短"，可知最短路径，即为线段MC。进而，在RT△CGM中，利用勾股定理，可求MC

【练习题】

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【例】曲面(圆柱)

【分析】

请注意：此题的易错点是，很多同学直接连接AB，认为此时线段AB即为最短路径。拜托，你的蚂蚁会"穿墙术"吗？，这里是从圆柱表面爬行，即在曲面上爬行。也就是说，在"视觉上"，蚂蚁是按照"曲线"爬行的(实际上，还是一条直线)

尽管如此，我们仍然可以把这个圆柱表面局部展开，可得：

关键点：这里的线段BC长，实际上是指上图中，半圆BC的长度(红色部分)

根据"两点之间线段最短"，可知最短路径，即为线段AB。进而，在RT△ACB中，利用勾股定理，可求最短路径AB长

【练习题】

如图，以A点环绕油罐建梯子，使它正好落在A点的正上方B点处，问梯子最短要多少米？(已知油罐底面半径为6/π m，AB为5m)

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