第83期 勾股定理系列专题之几何体表面的“最短路径”

Posted 2021-04-28 袁朝川教师工作室

勾

股定理可以解决许多问题，如已知三角形的两边，求第三边，已知直角三角形的一边和另两边的关系，求另外两边等.

应用勾股定理解决实际问题，首先需要构造直角三角形。把问题转化为已知两边求第三遍的问题。然后确定好直角边和斜边，根据勾股定理求出线段的长度，即三角形的边长。

最短路径问题是几何中的常见问题，常分为平面内的最短路径和空间里的最短路径，

平面内的最短路径通常用两点之间，线段最短来解决，更难一点的，需要进行转化，如将军饮马模型。

空间的最短路径往往以几何体为载体，解题思路往往相同，将立体图形张开成平面图形，然后根据两点之间，线段最短，确定最短路线，以最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理求出最短路线长。

基本思路：

转化：化曲为直，将立体图形平面化。

立体台阶型题

例1 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_______dm．

分析：先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答

解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，

长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

由勾股定理可得AB²=20²+[（2+3）×3]²，

解得AB=25．

即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．

长方体型题

例2 如图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？

分析：解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.

解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.

将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上（如图2）

所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为2√41.

     展开长方体的表面成一个平面，连接对应两点的线段长就是这两点间的距离，由于长方体的长宽高可能会有不同情况，不同情况下两点间的线段长度也有不同情况，通过比较之后才能确定最短距离。

       更多关于长方体表面的最短距离，请参考在第46期（点击访问）

圆锥型题

例3 如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m（结果不取近似值）

分析：求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，圆锥的侧面展开是个扇形，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中∠BAP=90°，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP长.

解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，

设该扇形的圆心角度数为n，

由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，

圆柱体型题

例4 有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？

分析：把圆柱沿AB侧面展开，连接AB，再根据勾股定理得出结论

解：展开图如图所示，

AC=12m，BC=5m

AB²=AC²+BC²=12²+5²

AB=13m

关于圆柱表面的展开，根据实际情况，如果路径是沿着圆柱侧面，则展开侧面得一长方形，连接长方形上的相应两点，用勾股定理求最短距离即可。

关于绕圆柱几周的最短路径，请参看《微专题》第42期（点击访问）

中考直击

如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____m（容器厚度忽略不计）.

分析：

将容器侧面展开如图，

是一个长方形MNPQ，但是此时的A,B并不在同一个平面内，无法直接连接两点，过A的路线一定要经过直线MN再到达B,此时需要经过再次转化，此模型就转化为将军饮马的问题，在MN上找个点P，使得PA+PB最小.

找A关于MN的对称点A’，根据两点之间线段最短可知A’B的长度即为所求.

解：要求壁虎捉蚊子的最短距离，实际上是求在MN上找一点P，使PA+PB最短，

 过点A作MN的对称点A’，连结A’B，则A’B与MN的交点P就是所求的点P

因为两点之间，线段最短，A’B的长即为壁虎捕捉蚊子的最短距离

∵底面周长为1m

∴A’C=0.5m，BC=1.2m

A’B²=A’C²+BC²=0.5²+1.2²

A’B=1.3m

转化

         除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.