图文解析 | Dijkstra单源最短路径算法

Posted 2021-04-28 程序员专区

单源最短路径问题

给定加权有向图G=(V,E,W)，每条边的权值w为非负数，表示两个顶点间的距离。

源点s∈V。

求：从s出发到其他各个顶点的最短路径。

如上图所示，以1为源点，计算到其余各个顶点的最短距离（我已用红线标出）。下面列出了最终解：

源点：1

1->6->2 : short[2] = 5

1->6->2->3 : short[3] = 12

1->6->4 : short[4] = 9

1->6->5 : short[5] = 4

1->6v : short[6] = 3

Dijkstra算法相关概念

S集合：当从s到x（x ∈V ）的最短路径找到时，则x ∈S。当所有顶点都进入S集合时，算法结束。

初始：S=｛s｝，当S=V时算法结束。

从s到u相对于S的最短路径：指从s到u且仅经过S中顶点的最短路径。

dist[u]:从s到u相对于S的最短路径长度

short[u]:从s到u最短路径的长度（算法最终解）

dist[u] ≥ short[u]

Dijkstra算法采用贪心算法模式，算法过程就是通过计算dist[u],不断扩充S集合，同时dist[u]会不断优化改善，直到dist[u] = short[u]，并将其放到S中，当所有顶点都放入S集合时，算法结束。

算法设计思想

输入：加权有向图G=(V,E,W)

V={1,2,…,n}, s=1

输出：从s到每个顶点的最短路径

1.初始S=｛1｝

2.对于u ∈V-S,计算1到u的相对于S的最短路，长度为dist[u]

3.选择V-S中dist值最小的那个顶点，加入S。

4.继续上述过程，直到S=V为止。

实例

输入：G=(V,E,W)，源点1

V={1,2,3,4,5,6}

  

初始S集合只有1，计算直接从1能到达的顶点的距离，其他不能从1号顶点直接到达的顶点都记为无穷大。此时从dist[u]里找出最短距离的顶点（6号），并将其放进S集合。

  S={1}

  dist[1] = 0

  dist[2] = 10

  dist[6 ] = 3

  dist[3] = ∞

  dist[4] = ∞

  dist[5] = ∞

当把6号顶点放进S集合后，经由6号顶点出发到达的顶点的最短距离可能会被优化更新，因为该算法的思想很“贪心”，谁更短我要谁！比如1->6->2要比1->2距离更短，所以dist[2]被更新为5，从专业术语上讲，这个“更新”过程叫做松弛，其他点同理。然后从dist[u]里找出最短的路径的那个顶点（5号），并放进S集合里。

  S={1,6}

  dist[1] = 0

  dist[6] = 3

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[5] = 4

  dist[3] = ∞

后面的操作步骤其实就是重复上面的操作。即当S集合里有个新的顶点后，就可能会更新其他点的最短距离，更新一遍后，找出当前最短距离的dist[u]，并将该顶点放进S集合。后面不重复阐述。

  S={1,6,5}

  dist[1] = 0

  dist[6] = 3

  dist[5] = 4

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = ∞

  S={1,6,5,2}

  dist[1] = 0

  dist[6] = 3

  dist[5] = 4

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4}

  dist[1] = 0

  dist[6] = 3

  dist[5] = 4

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = 12

  S={1,6,5,2,4,3}

  dist[1] = 0

  dist[6] = 3

  dist[5] = 4

  dist[2] = 5

  dist[4] = 9

  dist[3] = 12

当有向图中的所有顶点都进入了S集合后，算法结束，此时的dist[u]的值其实就是最初我们找出的那个最终解short[u]，所以，算法结束时，dist[u]=short[u],得到最终解。