优雅的读懂支持向量机 SVM 算法

Posted 算法爱好者

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了优雅的读懂支持向量机 SVM 算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

(点击上方公众号,可快速关注)


http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/03/13/1982639.html


简介


支持向量机基本上是最好的有监督学习算法了。最开始接触SVM是去年暑假的时候,老师要求交《统计学习理论》的报告,那时去网上下了一份入门教程,里面讲的很通俗,当时只是大致了解了一些相关概念。


这次斯坦福提供的学习材料,让我重新学习了一些SVM知识。我看很多正统的讲法都是从VC 维理论和结构风险最小原理出发,然后引出SVM什么的,还有些资料上来就讲分类超平面什么的。


这份材料从前几节讲的logistic回归出发,引出了SVM,既揭示了模型间的联系,也让人觉得过渡更自然。


重新审视logistic回归


Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型,而这个模型是将特性的线性组合作为自变量,由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。


因此,使用logistic函数(或称作sigmoid函数)将自变量映射到(0,1)上,映射后的值被认为是属于y=1的概率。

形式化表示就是


假设函数



其中x是n维特征向量,函数g就是logistic函数。

优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的图像是


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


可以看到,将无穷映射到了(0,1)。


而假设函数就是特征属于y=1的概率。


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


当我们要判别一个新来的特征属于哪个类时,只需求优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,若大于0.5就是y=1的类,反之属于y=0类。


再审视一下优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,发现优雅的读懂支持向量机 SVM 算法只和优雅的读懂支持向量机 SVM 算法有关,优雅的读懂支持向量机 SVM 算法>0,那么优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,g(z)只不过是用来映射,真实的类别决定权还在优雅的读懂支持向量机 SVM 算法。还有当优雅的读懂支持向量机 SVM 算法时,优雅的读懂支持向量机 SVM 算法=1,反之优雅的读懂支持向量机 SVM 算法=0。

如果我们只从优雅的读懂支持向量机 SVM 算法出发,希望模型达到的目标无非就是让训练数据中y=1的特征优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,而是y=0的特征优雅的读懂支持向量机 SVM 算法

Logistic回归就是要学习得到优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,使得正例的特征远大于0,负例的特征远小于0,强调在全部训练实例上达到这个目标。


图形化表示如下:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


中间那条线是优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,logistic回顾强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。


考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的,然而C我们是不太确定的,B还算能够确定。这样我们可以得出结论,我们更应该关心靠近中间分割线的点,让他们尽可能地远离中间线,而不是在所有点上达到最优。


因为那样的话,要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点,一个考虑局部(不关心已经确定远离的点),一个考虑全局(已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离)。这是我的个人直观理解。


形式化表示


我们这次使用的结果标签是y=-1,y=1,替换在logistic回归中使用的y=0和y=1。同时将优雅的读懂支持向量机 SVM 算法替换成w和b。


以前的优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,其中认为优雅的读懂支持向量机 SVM 算法。现在我们替换优雅的读懂支持向量机 SVM 算法为b,后面替换优雅的读懂支持向量机 SVM 算法优雅的读懂支持向量机 SVM 算法(即优雅的读懂支持向量机 SVM 算法)。这样,我们让优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,进一步优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


也就是说除了y由y=0变为y=-1,只是标记不同外,与logistic回归的形式化表示没区别。再明确下假设函数


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


上一节提到过我们只需考虑优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的正负问题,而不用关心g(z),因此我们这里将g(z)做一个简化,将其简单映射到y=-1和y=1上。映射关系如下:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


函数间隔(functional margin)和几何间隔(geometric margin)


给定一个训练样本优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,x是特征,y是结果标签。i表示第i个样本。我们定义函数间隔如下:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


可想而知,当优雅的读懂支持向量机 SVM 算法时,在我们的g(z)定义中,优雅的读懂支持向量机 SVM 算法优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的值实际上就是优雅的读懂支持向量机 SVM 算法。反之亦然。


为了使函数间隔最大(更大的信心确定该例是正例还是反例),当优雅的读懂支持向量机 SVM 算法时,优雅的读懂支持向量机 SVM 算法应该是个大正数,反之是个大负数。因此函数间隔代表了我们认为特征是正例还是反例的确信度。


继续考虑w和b,如果同时加大w和b,比如在优雅的读懂支持向量机 SVM 算法前面乘个系数比如2,那么所有点的函数间隔都会增大二倍,这个对求解问题来说不应该有影响,因为我们要求解的是优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,同时扩大w和b对结果是无影响的。


这样,我们为了限制w和b,可能需要加入归一化条件,毕竟求解的目标是确定唯一一个w和b,而不是多组线性相关的向量。这个归一化一会再考虑。


刚刚我们定义的函数间隔是针对某一个样本的,现在我们定义全局样本上的函数间隔


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


说白了就是在训练样本上分类正例和负例确信度最小那个函数间隔。

接下来定义几何间隔,先看图


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


假设我们有了B点所在的优雅的读懂支持向量机 SVM 算法分割面。任何其他一点,比如A到该面的距离以优雅的读懂支持向量机 SVM 算法表示,假设B就是A在分割面上的投影。


我们知道向量BA的方向是优雅的读懂支持向量机 SVM 算法(分割面的梯度),单位向量是优雅的读懂支持向量机 SVM 算法。A点是优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,所以B点是x=优雅的读懂支持向量机 SVM 算法(利用初中的几何知识),带入优雅的读懂支持向量机 SVM 算法得,


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


进一步得到


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法实际上就是点到平面距离。

再换种更加优雅的写法:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法时,不就是函数间隔吗?是的,前面提到的函数间隔归一化结果就是几何间隔。


他们为什么会一样呢?因为函数间隔是我们定义的,在定义的时候就有几何间隔的色彩。同样,同时扩大w和b,w扩大几倍,优雅的读懂支持向量机 SVM 算法就扩大几倍,结果无影响。同样定义全局的几何间隔优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


最优间隔分类器(optimal margin classifier)


回想前面我们提到我们的目标是寻找一个超平面,使得离超平面比较近的点能有更大的间距。也就是我们不考虑所有的点都必须远离超平面,我们关心求得的超平面能够让所有点中离它最近的点具有最大间距。


形象的说,我们将上面的图看作是一张纸,我们要找一条折线,按照这条折线折叠后,离折线最近的点的间距比其他折线都要大。形式化表示为:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


这里用优雅的读懂支持向量机 SVM 算法=1规约w,使得优雅的读懂支持向量机 SVM 算法是几何间隔。


到此,我们已经将模型定义出来了。如果求得了w和b,那么来一个特征x,我们就能够分类了,称为最优间隔分类器。接下的问题就是如何求解w和b的问题了。


由于优雅的读懂支持向量机 SVM 算法不是凸函数,我们想先处理转化一下,考虑几何间隔和函数间隔的关系,优雅的读懂支持向量机 SVM 算法,我们改写一下上面的式子:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


这时候其实我们求的最大值仍然是几何间隔,只不过此时的w不受优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的约束了。然而这个时候目标函数仍然不是凸函数,没法直接代入优化软件里计算。我们还要改写。


前面说到同时扩大w和b对结果没有影响,但我们最后要求的仍然是w和b的确定值,不是他们的一组倍数值,因此,我们需要对优雅的读懂支持向量机 SVM 算法做一些限制,以保证我们解是唯一的。


这里为了简便我们取优雅的读懂支持向量机 SVM 算法。这样的意义是将全局的函数间隔定义为1,也即是将离超平面最近的点的距离定义为优雅的读懂支持向量机 SVM 算法。由于求优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的最大值相当于求优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的最小值,因此改写后结果为:


优雅的读懂支持向量机 SVM 算法


这下好了,只有线性约束了,而且是个典型的二次规划问题(目标函数是自变量的二次函数)。代入优化软件可解。


到这里发现,这个讲义虽然没有像其他讲义一样先画好图,画好分类超平面,在图上标示出间隔那么直观,但每一步推导有理有据,依靠思路的流畅性来推导出目标函数和约束。



觉得本文有帮助?请分享给更多人

关注「算法爱好者」,修炼编程内功

淘口令复制以下红色内容,再打开手淘即可购买

范品社,使用¥极客T恤¥抢先预览(长按复制整段文案,打开手机淘宝即可进入活动内容)

近期,北京地区正常发货,但派件时间有所延长。

以上是关于优雅的读懂支持向量机 SVM 算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

一文读懂支持向量机(SVM)

一起读懂支持向量机-最清晰易懂的SVM解读视频上线了

如何学习SVM(支持向量机)以及改进实现SVM算法程序?

一文读懂:支持向量机(SVM)非线性分类问题

8步学习SVM(支持向量机)(附改进实现SVM算法代码)

支持向量机原理