背包问题(上) | 贪心算法与MATLAB程序实现

Posted 2021-04-25 Building可视库

 

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看到这篇推文的时候，说明小库又去上了《优化与决策》这门课，今晚老师讲的是动态规划问题，涉及最短路径问题，库存问题，资源分配，生产过程最优化问题等等。

不过我们这次的重点是在书上有个例题提到了背包问题，以及例题中的这句话：应用贪心算法，可以很好而快速的解决。按耐不住，开始探索~

背包问题

所谓背包问题，用知乎某答主的话讲就是：一个小偷背了一个背包潜进了金店，包就那么大，他如何保证他背出来所有物品加起来的价值最大。

当然背包问题分为好几种：0/1背包问题，完全背包问题，多重背包问题。今天咱们就只说第一种，也是最基础的。

问题描述

已知6种物品和一个可载重量为60千克的背包，物品i的重量为a，价值为c，在装包时每一件物品可以装入，也可以不装，假定背包的容积够大（但可载质量有限），我们如何确定装包，使所装包的总价值最大？

i=(1,2,3,4,5,6)

a=(15,17,20,12,9,14)

c=(32,37,46,26,21,30)

求解思路

第一：这里需要定义决策向量：

[x1,x2,x3,x4,x5,x6]

即当选择第i种物品往背包放时，取xi=1，否则取xi=0。于是所有选取的物品的总价值为：

c1x1+c2x2+…+Cnxn

总的重量为：

a1x1+a2x2+…+anxn

可以表达为：

第二：贪心算法意为见到好的就抓住不放，用贪心算法求解问题，一般可以获得比较好的求解速度。本问题的具体做法为：先计算物品的价值密度，并把物品按价值密度从大到小的顺序排列：

第三：当选择第ki件已排好序的物品时，先判断背包是否超载，如果不超载，则物品放入背包，否则考虑下一件k(i+1)，按照这种方式考虑所有物品，即能得到背包问题的一个近似最优解。

程序求解

贪心算法脚本文件代码如下：

问题结果如下：

其中决策序列s符合课本所示(0,1,1,1,1,0),该策略所得总效益为130，总载量为58kg。

需要说明的是贪心算法得到只是近似最优解，对于这个例题，最优解序列应为(0,1,1,0,1,1)，总效益应为134，总载量为60kg，下次用动态规划去求解此类问题的最优解。

扩展阅读：

图文 | 小库Q

编辑 | Jason