数据结构与算法笔记（十七）—— 贪心算法及经典案例(找零问题背包问题拼接最大数字问题活动选择问题)

Posted 2022-12-06 别呀

一、贪心算法

贪心算法(又称贪婪算法)是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法并不保证会得到最优解，但是在某些问题上贪心算法的解就是最优解。要会判断—个问题能否用贪心算法来计算。

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二、经典案例

2.1、找零问题

问题描述： (钱数量最少)
假设商店老板需要找零n元钱，钱币的面额有：100元、50元、20元、5元、1元，如何找零使得所需钱币的数量最少?

代码实现：

t = [100,50,20,5,1] #币值

def change(t,n):
    '''参数：
    t: 可供选择的币值  列表
    n: 需找的零钱值
    '''
    m = [0 for _ in range(len(t))]
    for i, money in enumerate(t):
        m[i] = n // money
        n = n % money
    return m,n

print(change(t,644))

结果：

([6, 0, 2, 0, 4], 0)

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2.1、背包问题

问题描述：(价值最高)
一个小偷在某个商店发现有n个商品，第 i 个商品价值v元，重 wi 千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳 W 千克的东西。他应该拿走哪些商品?

• 0-1背包：对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或把一个商品拿走多次。(商品为金条)
• 分数背包：对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。(商品为金砂)

举例：

• 商品1∶ v=60，w1=10
• 商品2∶ v2=100， w2=20
• 商品3：v3=120， w3=30
• 背包容量:W=50

对于0-1背包和分数背包，贪心算法是否都能得到最优解?为什么?
事实上，用0-1背包是不行的。因为使用贪心算法，我们会选择价值最高的物品：商品1、商品2，这时总价值为160，实际上我们应该选择商品2和商品3才是最优的(价值为220)。

代码实现(分数背包)：

goods = [(60,10),(100,20),(120,30)]  #每个商品元组表示(价格，重量)
goods.sort(key=lambda x: x[0]/x[1],reverse=True) #按照商品价值进行降序排序

def fractional_backpack(goods,w):
    '''参数：
    goods: 商品价格及重量
    w: 背包可装重量
    '''
    m = [0 for _ in range(len(goods))]
    total_v = 0  #总价格
    for i,(price,weight) in enumerate(goods):
        if w>= weight:
            m[i] = i
            total_v += price
            w -= weight
        else:
            m[i] = w / weight
            total_v += m[i] * price
            w = 0
            break
    return total_v,m

print(fractional_backpack(goods,50))

结果：

(240.0, [0, 1, 0.6666666666666666])

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2.3、拼接最大数字问题

问题描述：(整数最大)
有n个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数。如何拼接可以使得得到的整数最大?

例：32,94,128,1286,6,71可以拼接除的最大整数为94716321286128

代码实现：

from functools import cmp_to_key

li = [32,94,128,1286,6,71]

def xy_cmp(x,y):
    if x+y < y+x:
        return 1
    elif x+y > y+x:
        return -1
    else:
        return 0

def number_join(li):
    li = list(map(str,li))
    li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp))
    return ''.join(li)

print(number_join(li))

结果：

94716321286128

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2.4、活动选择问题

问题描述：(个数最多)
假设有n个活动，这些活动要占用同一片场地，而场地在某时刻只能供—个活动使用。

每个活动都有一个开始时间s和结束时间f(题目中时间以整数表示),表示活动在[si,fi)区间占用场地。

问：安排哪些活动能够使该场地举办的活动的个数最多?

贪心结论：最先结束的活动一定是最优解的一部分。
证明：假设a是所有活动中最先结束的活动， b是最优解中最先结束的活动。

• 如果a=b，结论成立。
• 如果a≠b，则b的结束时间一定晚于a的结束时间，则此时用a替换掉最优解中的b, a一定不与最优解中的其他活动时间重叠，因此替换后的解也是最优解。

代码实现：

activities = [(1,4),(3,5),(0,6),(5,7),(3,8),(5,9),(6,10),(8,11),(8,12),(2,14),(12,16)]
# 保证活动是按照结束时间排序的
activities.sort(key=lambda x:x[1])

def activities_selection(a):
    res = [a[0]]  #加入最先结束的活动
    for i in range(1,len(a)):
        if a[i][0] >= res[-1][1]:  #当前活动的开始时间小于等于最后一个入选活动的结束时间
            #不冲突
            res.append(a[i])
    return res

print(activities_selection(activities))

结果：

[(1, 4), (5, 7), (8, 11), (12, 16)]