贪心算法结构与算法分析：C语言描述

Posted 2021-04-25 供应链智云

例子

平时购物找零钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不要求找零钱的所有方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各面额，先尽量用大面值的面额，当不足大面额时才去考虑下一个较小面值，这就是贪心算法。

简介

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，算法得到的是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，做出的只是在某种意义上的局部最优解。

算法思路

（1） 建立数学模型来描述问题；

（2） 把求解的问题分成若干个子问题；

（3） 对每个子问题求解，得到子问题的局部最优解；

（4） 把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

贪心算法是一种对某些求最优解的更简单、更迅速的设计技术。贪心算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作为最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪心算法采用自顶向下，以迭代的方法做出相继的贪心选择，每做一次贪心选择，就近所求问题简化为一个规模更小的子问题，通过每一步贪心选择，可得到问题的一个最优解。虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪心算法不要回溯。

算法特性

1. 有一个以最优方式来解决的问题。为了构造问题的解决方案，有一个候选的对象的集合：比如不同面值的硬币。

2. 随着算法的进行，将积累起其他两个集合：一个包含已经被考虑过并被选出的候选对象，另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。

3. 有一个函数来检查一个候选对象的集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决方法是否最优。

4. 还有一个函数检查是否一个候选对象的集合是可行的，即是否可能往该集合上添加更多的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样，此时不考虑解决方法的最优性。

5. 选择函数可以指出哪一个剩余的候选对象最有希望构成问题的解。

6. 最后，目标函数给出解的值。

使用条件

1. 贪心选择性质

一个问题的整体最优解可通过一系列局部的最优解的选择达到，并且每次的选择可以依赖以前作出的选择，但不依赖于后面要做出的选择，这就是贪心选择性质。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

2. 最优子结构性质

当一个问题的最优解包含子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心求解的关键所在。在实际应用中，至于什么问题具有什么样的贪心选择性质是不确定的，需要具体问题具体分析。

解题策略

贪心算法不从整体最优上加以考虑，所作出的仅是在某种意义上的局部最优选择。使用贪心策略要注意局部最优与全局最优的关系，选择当前的局部最优并不一定能推导出问题的全局最优。贪心策略解题需要解决以下两个问题：

1. 该问题是否适合使用贪心策略求解，也就是该问题是否具有贪心选择性质；

2. 制定贪心策略，以达到问题的最优解或较优解。

要确定一个问题是否适合用贪心算法求解，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。证明的大致过程为：首先考察问题的一个整体最优解，并证明可修改这个最优解，使其以贪心选择开始，做了贪心选择后，原问题简化为规模更小的类似子问题。然后用数学归纳法证明通过每一步做贪心选择，最终可得到问题的整体最优解。

存在问题

1. 不能保证解是最佳的。因为贪心算法总是从局部出发，并没有从整体考虑；

2. 贪心算法一般用来解决求最大或最小解；

3. 贪心算法只能确定某些问题的可行性范围。

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