RSA加密原理：非对称加密鼻祖

Posted 2021-04-25 胖牛势

 

说到加密算法，RSA是绕不开的话题，因为RSA算法是目前最流行的公开密钥算法，既能用于加密，也能用户数字签名。

不仅在加密货币领域使用，在传统互联网领域的应用也很广泛。从被提出到现在20多年，经历了各种考验，被普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。比特币所使用的Sha256算法，也是在其基础之上建立的。了解RSA算法，相信你会对区块链有更深的认识。

非对称加密

直到1970年代，密码学都是基于对称密钥，也就是发送者使用特定密钥加密信息，而接收者使用相同密钥解密，加密也就是一种来自信息的映射，使用特定密钥来加密信息，要解密密文，需要使用相同密钥，将映射逆转过来。

假设Alice想要和Bob通信，他们必须共享相同的密钥，但如果Alice和Bob不能实际见面，建立共享密钥通常不太可能，或者需要额外的通信开销，比如使用迪菲赫尔曼密钥交换。

另外，如果Alice希望同很多人通信，比如，她开了一家银行，那么她需要同每个人交换不同密钥，她必须管理好所有这些密钥，发送数以千计的信息。于是，密码学家不禁会想，是否有更简单的方式呢？

1970年，英国工程师兼数学家詹姆斯·艾丽斯，试图公开密钥加密，这基于一种简单但聪明的概念，加锁和解锁是互逆操作。

为了理解这些，我们用颜色为比喻进行说明，Bob是如何发给Alice一个特定的颜色，而不让监听者截获信息的。

每种颜色都具有互补色，同互补色叠加会得到白光，这能去掉第一种颜色的作用，这里我们假设，混合颜色是一个单向函数，混合颜色输出第三种颜色很容易，但反向过程就难了，Alice首先生成自己的私有密钥，也就是可以随便选择一个颜色，比如红色，下面，假设Alice有一种神秘的颜色机器，能够找到这种红色的互补色，没有其他人能够知道这个，这得到蓝绿色，他将这发给Bob作为公开密钥，假设Bob想发送一种神秘的黄色给Alice。

他将黄色同公开颜色混合然后得到的混合色发给Alice，此时，Alice能够将自己的私有色叠加到Bob的混合色，这将解除公开色的作用，剩下Bob的秘密颜色，而窃听者无法简单破译Bob的黄色，除非他有Alice的红色。

我们还需要一种数学方法，让这能用于实践。

模幂计算

解决方法由另一位数学家找到——克利福德科克斯，科克斯需要构建一种特殊的单向函数，也就是陷门单向函数，这种函数从一个方向计算很容易，反过来就难了，除非你有关于陷门的特殊信息，为此，他考虑到了模幂计算。

菲迪赫尔曼密钥交换，具体方法如下：取一个数字的某次方，除以模数，输出余数，这可以被这样用于加密信息，假设Bob有一段信息被化为数字m，他可以将这个数字自乘e次，其中e是公开指数，然后他可以将结果除以随机数N，并输出除法的余数，这会得到数字c，这个计算很容易完成，但已知c e N，很难求出m是什么，因为我们需要某种试错的过程，这就是可以用于m的单向函数。

正向执行容易，但是反过来难，这就是，我们是数字锁，钥匙就是陷门，这是某种让加密逆过程很容易的信息，我们需要取c的其他次幂，比如d次幂，解除我们原来对m所进行的运算，得到最初的信息m，两个运算合起来也就是m的e次方。然后整个的d次方，也就是m的e乘以d次方，e表示加密，d表示解密。

因此，Alice需要有一种方法构建e和d，导致其他人很难求出d的值。这需要第二个单向函数，用户生成d，为此，他想到了欧几里得。

欧几里得的证明

2000多年前，欧几里得证明了，每个数只有一种质因数分解，这可以考虑为一个密钥，质因数分解是一个非常难的问题，明确一下这里的“难”是什么意思，我将通过介绍所谓事件复杂度来讲解，我们都进行过乘法运算，每个人都有自己的计算加速方法，如果编程，让计算机计算乘法，它能比任何人类算起来快得多。

将这同质因数分解对比，如果有人让你将589质因数分解，你可能会感到问题比较难，无论如何，这都需要采用试错法，直到找到某数能够均分589，经过一系列试错，你会发现其质因数分解是19*31，如果有人让你将437231质因数分解，你可能直接放弃，然后找计算机帮忙，较小的数字这还行得通，但随着数字越来越大，电脑也将开始无法驾驭，随着数字增大，计算步骤增多，需要的时间将大幅增加，大一点的数字计算机可能需要几分钟，再大可能需要数小时，最终，可能需要成千上百年才能分解非常大的数字。

因此，我们说这是一个很难的问题，求解问题所需要的事件会飞速增长，因数分解正是科克斯用于构建陷门的方法。

第一步，假设Alice随机生成一个超过150位的质数，记作p1，然后随机生成位数相当的第二个质数，记作p2，然后将两个质数相乘，得到合数N，乘法需要的事件不到一秒，用浏览器就能轻松计算，然后，她将N的分解P1乘P2隐藏起来，而将N告诉所有人，其他人想要计算机计算，可能需要几年时间。

第二步，科克斯需要找到一个函数，依赖于知道N的因数分解，为此，他回头考虑了1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉的函数。

欧拉函数

欧拉继续研究了质数分布的性质，他定义了一个重要的函数，叫 phi函数，它平衡的是数的可分性，对于给定数字N，函数的输出是，有多少小于等于N的整数，不同N具有任何公因数，以phi（8）为例讲解一下。

考虑从1到8的整数，然后数有多少整数，同8没有大于1的公因数，比如6就不算，因为6和8有公因数2，而1357都算，这些同8只有公因数1，因此（8）=4。

对于任意质数P都有（P）=P-1，比如质数7，（7），需要算进小于7的所有整数，这些数同7都没有公因数，所以（7）=6，如果要求质数21377的phi函数值，只需要减1，就能得到答案是，21376，任意质数的phi函数值都好算，这就引出了一个有趣的结果，基于phi的乘法性质phi（A·B）=phi（A）·phi（B），如果知道数字N，是两质数P1和P2的乘积。那么phi（N）就等于两个质数分别phi值的乘积。也就是（P1-1）·（P2-1）。

RSA加密

现在有了求解phi的陷门，如果你知道N如何因数分解，那么求解phi（N）就很容易，比如77的质因数分解是7×11，那么phi（77）=6×10=60。

第三步，如果将phi函数和模幂运算联系起来，为此，他想到了欧拉定理，也就是phi函数和模幂运算之间的入下关系，m的phi（n）次方=1mod n，这意味着你可以选择任何2个数字，让他们没有公因数，假设是m和n，这里令m=5，n=8，取m的phi（n）次方，也就是4次方，然后除以n，将总余下1，下面只需使用两条简单规则处理这个等式。

首先，1的任意次方，记作1的k次方，他总是等于1，同理，可以将指数phi（n）乘以任意数k，结果任然是1，然后1乘以任何数m结果总是m，同理，左侧可以乘以m，右侧也得到m，这可以化简为m的k·phi（n）+1次方，突破就在这里。

现在有了求e乘以d 的等式，这依赖于phi（n），因此，只有当n的因数分解已知时，计算d才容易，这里d可以作为Alice的密钥，这是一扇陷门，让她能够解除e的作用，用个例子简单讲一下：

假设Bob有一条信息，他使用某种填充方案将其转化为数字，假设这里是m，然后Alice按入下方式生成她的公开和私有私钥，首先，她生成2个大小类似的随机质数，将这两者相乘得到n，假设n是3127，然后很容易计算出phi（n），因为她知道n如何因数分解，这里phi（n）=3016，然后她选取一个小的公开指数e，前天是这个e必须是奇数，而且不同phi（n）具有公因数，这里选择e=3，最后她求出私有指数d 的值，这里也就是（2·phi（n）+1）/3，也就是2011。

他将这些都隐藏起来，只留下n和e的值，因为n和e组成她的公开密钥，这可以考虑为开着的锁，她把这些发给Bob，让Bob能够上锁自己的信息，Bob上锁是通过计算m的e吃饭mod n，记作c这是他的加密信息，他将这个发回给Alice，最后，Alice使用她的私钥d解密这个信息，通过陷门来访问，c的d次方mod n，等于Bob的原始信息m，任何知道c n e 的人，想知道计算指数d，智能通过计算phi（n），这要求他们知道n 的质因数分解。

当n足够时，Alice能够确保哪怕最先进的计算机网络，想计算出这个也需要数百年时间，该技术发布后，立刻被当做国家机密，不过1977年，该技术被独立地在发现，发现者是罗纳德·里维斯特，阿迪·萨莫尔，伦纳德·阿德曼，该加密于是以他们人人姓氏首字母RSA命名，RSA是使用最广泛的公开密钥算法，也是历史上使用最多的加密算法。

目前，世界上互联网使用者几乎都在使用RSA，或者某种相关的版本，不管他们意识到没有，RSA加密强度以来于质因数分解的困难程度，这是质数分布这一深层次问题的结果，这个问题存在了数千年，人类至今人无法解决。

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