建模永远在路上——数学模型与常用算法
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了建模永远在路上——数学模型与常用算法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
暑期生活已经开始，童鞋们是否做好了暑期规划呢，小编希望大家能度过一个愉快而有意义的假期，在享受假期的同时也不要忘记抽出时间为九月份的国赛好好准备一番。掌握数学模型及算法是建模的关键，下面小编就跟大家简单介绍一下数学模型的分类及常用算法的应用：
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数学模型的分类
1.按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等。
2.按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等。
3.按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4.按建模的目的分：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应。
5.按对模型结构的了解程度分：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6.按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型。
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数学建模十大算法
1、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。
4、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
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算法简介
1、灰色预测模型（一般）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两个条件可用：
①数据样本点个数6个以上，
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大。
2、微分方程模型（一般）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3、回归分析预测（一般）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化；样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数n＞3k+1，k为预测个数；
4、马尔科夫预测（较好）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA（较好）。
6、小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的预测波动数据的函数。
7、神经网络（较好）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、插值与拟合（一般）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、模糊综合评判（简单）不建议单独使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序。
11、层次分析法（AHP）（简单）不建议单独使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策。
12、数据包络（DEA）分析法（较好）
优化问题，对各省发展状况进行评判。
13、秩和比综合评价法和熵权法（较好）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类似。
14、优劣解距离法(TOPSIS法)（备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。
15、投影寻踪综合评价法（较好）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。该方法做评价比一般的方法好。
16、方差分析、协方差分析等（必要）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少。
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析。
17、线性规划、整数规划、0-1规划（一般）
模型建立比较简单，可以用lingo解决，但也可以套用智能优化算法来寻最优解。
18、非线性规划与智能优化算法（智能算法至少掌握1-2个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题。
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索算法、神经网络、粒子群等。
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等。
19、复杂网络优化（较好）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、排队论与计算机仿真（高大上）
排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21、图像处理（较好）
MATLAB图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
22、支持向量机（高大上）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、多元分析
1、聚类分析
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman或kendall等级相关分析
3、Person相关（样本点的个数比较多）
4、Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组Y1234，自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的X对今年的Y有没影响
9、优势分析
26、量子优化算法（高大上）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
以上给大家介绍的算法及详细知识点可以在《数学建模算法与应用》中找到，小伙伴们一定要坚持下去！Fighting！！！
本期供稿：实践部
本期编辑：王培雨
责任编辑：李小莹、栗圣杰
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