动态规划习题之最优二叉搜索树

Posted 2021-04-18 桃李满林

题目

问题描述：
        给定一个n元素的中序序列，它可以有卡特兰数个不同形状的二叉排序树。（卡特兰数的定义及证明参见组合数学）：

，如果我们知道每个键的查找概率，怎么来构造一个平均查找代价最小（查找成功）的最优二叉查找树呢？
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      用动态规划来求解，首先要找到它的最优子结构性质，然后根据这个最优子结构来描述和刻画问题，得到状态转移的方程：
1）最优子结构性质：
        看看一颗最优二叉查找树是怎么得到的？逆向思维，如果现在有一棵最优二叉查找树，root是ak，很容易得出：ak的左右子树也是最优二叉查找树（如果它的子树不是最优的，那就说明这个子树还可以继续调整，那么ak那颗树就也不是最优的了）。

2）根据最优子结构性质来描述和刻画问题
        用C[i , j]表示从 i 到 j 的最优二叉查找树的代价，那么问题就被划分为了n^2个子问题了（顶点号从0计数），假设有n个顶点，那么我们的目标是要求C[0 , n-1]。（编号从0还是1开始无所谓，在编程的时候注意下标范围就行了）。
      现在根据它的最优子结构来找状态转移方程：从 i 到 j的一个最优二叉查找树是怎么得到的？（即一个C[i , j]是怎么来的），它是从 i 到 j 之间的顶点中选出一个顶点来做root，假设选出的这个做root的顶点是 k （i <= k <= j ）,那么显然有：

        这个式子其实可以直接想到，不用那么复杂的推导，它就是要找一个能使得C[i , j]代价最小的 k （这个k的范围在 i 到 j之间），而后面为什么要加一个从i到j的概率呢？因为挑出了k后，它作root，每个点的查找长度都增加了1。当然，也有更严格
的推导，可以参考下：

3）有了状态转移方程，就可以画个矩阵看看初始条件，以及每个C[i , j]依赖那些值（填表顺序）。
初始条件有：C[i , i] = Pi，C[i , i-1] = 0
试探一下一个C[i , j]是怎么来的，就可以看出，应该沿对角线来填。

注意状态转移方程里当 k = i 或者 k = j 时，C[i , i - 1] 或者 C[j+1 , j]是没有定义的，在编程中只需要特殊处理下就行：对于这种没有定义的取0，其他的取矩阵中的值。

最后一点，至于具体的实现，tmd书上总喜欢画一个不是从0开始的表，有时候甚至还横坐标从0开始，纵坐标从1开始，虽说

是为了填矩阵的方便，但看起来很狗。我一般n规模的问题，就开n * n的矩阵，下表从0到n-1，对超出边界的做一些特殊处

理就行了，就像上面的C[i , i-1]。看看书上的表（理解意思，具体实现我开的矩阵不一样，下标控制不一样）：

        它这样来画表其实就是为了解决C[i , i-1]不在定义范围内，为了能直接从矩阵中取值才这么做的。
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        上面就构造出了最优二叉查找树的最优代价的动态规划过程，利用上述状态转移方程可以填出所有的C[i , j]。
        还有一个问题，怎么去不仅仅得到C[i , j]这个代价，更要知道对应于这个代价的二叉树的形状？
        仍然是构造一个矩阵 A[0...n-1，0...n-1] 来记录动态规划的过程，每次选出一个 k 作root时，就把 k 记录下来，即用A[i , j] = k 表示从 i 到 j 的最优二叉查找树的root是 k。（它还蕴含从 i 到 k - 1是左子树，k+1到 j 是右子树，注意我们给定的从0到n-1顶点是一个中序序列！）
    初始值 A[i , i] = i，表示只有自己的最优二叉查找树的root就是它自己。最后将得到一个矩阵A。它表达了二叉查找树的形状，当然，还得根据A的含义，从A中获取从 i 到 j的最优二叉查找树的形状。

        可以有下列算法，从A中输出从 i 到 j 的最优二叉查找树的形状（输出它的前序序列，因为中序序列是已知的）：

已知前序序列和中序序列，一个二叉树的形状就确定了：

也是用递归（最优子结构）
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实现：

public class test {

/**

* @param args

*/

public static void main(String[] args) {

// TODO Auto-generated method stub

float[] P = {(float) 0.1,(float) 0.2,(float) 0.4,(float) 0.3};

//若返回值是最小代价，测试最小代价是否正确

//System.out.println("输出最优二叉排序树的最小代价： ");

//float result = OptBST(P);

//System.out.println(result);

//若返回值是表达最优二叉排序树形状的矩阵，测试矩阵是否正确

System.out.println("输出表达最优二叉排序树形状的矩阵： ");

int[][] R = OptBST(P);

for(int i = 0;i < R.length;i++)

{

for(int j = 0;j < R.length;j++)

System.out.print(R[i][j] + "　　");

System.out.println();

}

}

public static int[][] OptBST(float[] P){

//接受一个中序序列的点的查找概率数组，返回最优的二叉查找树的代价（注意P中的概率按顺序对应于点的中序序列）

int n = P.length; //结点个数

float[][] result = new float[n][n];

int[][] R = new int[n][n]; //表达二叉查找树形状的矩阵

for(int i = 0;i < n;i++)

{

result[i][i] = P[i]; //填充主对角线C[i,i] = P[i]

R[i][i] = i; //R[i][j]表示若只构造从i到j的树，那么root是R[i][j]

}

for(int d = 1;d <= n - 1;d++) //共n-1条对角线需要填充

{

for(int i = 0;i <= n - d - 1;i++) //横坐标的范围与对角线编号d的关系

{

int j = i + d; //一旦横坐标确定后，纵坐标可以用横坐标与对角线编号表示出来

float min = 1000000;

int root = 0;

for(int k = i;k <= j;k++)

{

float C1 = 0,C2 = 0; //用C1，C2表示result[i,k-1]和result[k+1,j]

if(k > i)

C1 = result[i][k - 1];

if(k < j)

C2 = result[k + 1][j];

if(C1 + C2 < min)

{

min = C1 + C2;

root = k;

}

}

R[i][j] = root; //R[i][j]的值代表从i到j的最优二叉查找树的根

float sum = 0;

for(int s = i;s <= j;s++)

//sum = sum + P[i]; 

sum = sum + P[s];

result[i][j] = sum + min;

}

}

//return result[0][n-1]; //返回C[1,n],最小代价

return R; //返回表达最优二叉排序树形状的矩阵

}

}

最优代价的矩阵和表达形状的矩阵在一起求的，需要哪个就返回哪个值，见代码。

很容易看出时间复杂度是 n^3（k的选择需要一个循环） 的，空间复杂度是 n^2的。

运行结果（返回表达二叉查找树形状的矩阵R）：

输出表达最优二叉排序树形状的矩阵：

0　　1　　2　　2　　

0　　1　　2　　2　　

0　　0　　2　　2　　

0　　0　　0　　3