动态规划之最优搜索二叉树(2021/3/13)
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了动态规划之最优搜索二叉树(2021/3/13)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
动态规划之最优二叉树
问题引入
代码实现
/*
算法：最优搜索二叉树(动态规划法)
编码人员:高万禄
日期:2021/3/13
*/
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
//输入N
int scanfN(void)
int temp;
std::cin>>temp;
if(temp>0)
return temp;
else//异常
return 0;
//申请一维表
double * getP(int *N)
double *P=NULL;
P=(double*)malloc(sizeof(double)*(*N+1));
if(!P)std::cout<<"Error:malloc NULL\\n";
return P;
//输入P数组
double * scanfP(int *N)
//输入实节点的概率,下标0位置不使用
double *P=getP(N);
//输入P
std::cout<<"CIN P Array:\\n";
for(int i=1;i<=*N;i++)
std::cin>>P[i];
//输出P
std::cout<<"P[]:\\n";
for(int i=1;i<=*N;i++)
std::cout<<P[i]<<"\\t";
std::cout<<"\\n";
return P;
//输入Q数组
double * scanfQ(int*N)
double *Q=NULL;
Q=getP(N);//申请数组
std::cout<<"CIN Q Array\\n";
for(int i=0;i<=*N;i++)
std::cin>>Q[i];
//输出Q
std::cout<<"Q[]:\\n";
for(int i=0;i<=*N;i++)
std::cout<<Q[i]<<"\\t";
std::cout<<"\\n";
return Q;
//申请W表
double** getW(int*N)
double **W=NULL;
W=(double**)malloc(sizeof(double*)*(*N+2));
for(int i=0;i<=*N+1;i++)
*(W+i)=(double*)malloc(sizeof(double)*(*N+1));
return W;
//申请S表
int** getS(int*N)
int **W=NULL;
W=(int**)malloc(sizeof(int*)*(*N+2));
for(int i=0;i<=*N+1;i++)
*(W+i)=(int*)malloc(sizeof(int)*(*N+1));
return W;
//动态规划求最优二叉搜索树
void Optimal_BST(double *P,double*Q,double**W,double **C,int **S,int*N)
//初始化W数组与C数组,因为涉及到递归式求解，第一步求解就要用递归式，但以前还没有可利用的，必须初始化
for(int i=1;i<=*N+1;i++)
C[i][i-1]=0.0f;
W[i][i-1]=Q[i-1];
//从几个实节点规模树选根节点（规模）
for(int t=1;t<=*N;t++)
//从下标[i,j]选出最优的那个根节点
for(int i=1;i<=*N-t+1;i++)
int j=i+t-1;
//涉及到迭代求最小问题，需要现进行初始化最小，再迭代求最小,默认选i做根
W[i][j]=W[i][j-1]+P[j]+Q[j];
C[i][j]=C[i][i-1]+C[i+1][j];
S[i][j]=i;//[i,j]实节点规模树,存储选中的根节点
//根节点向后迭代选出最优根
for(int k=i+1;k<=j;k++)
double temp=C[i][k-1]+C[k+1][j];
if(temp<C[i][j]&&fabs(temp-C[i][j])>1E-6)//后者条件为二者不相等
C[i][j]=temp;//迭代最优根
S[i][j]=k;
C[i][j]+=W[i][j];
void PrintResult(double **W,double **C,int **S,int *N)
//打印W
std::cout<<"_________________________________________\\n";
std::cout<<"W[][]:\\n";
for(int i=1;i<=*N+1;i++)
for(int j=0;j<=*N;j++)
std::cout<<W[i][j]<<"\\t";
std::cout<<"\\n";
std::cout<<"_________________________________________\\n";
//打印C
std::cout<<"C[][]:\\n";
for(int i=1;i<=*N+1;i++)
for(int j=0;j<=*N;j++)
std::cout<<C[i][j]<<"\\t";
std::cout<<"\\n";
std::cout<<"_________________________________________\\n";
//打印S
std::cout<<"S[][]:\\n";
for(int i=1;i<=*N+1;i++)
for(int j=0;j<=*N;j++)
std::cout<<S[i][j]<<"\\t";
std::cout<<"\\n";
//主函数
int main(int argc,char**argv)
int N;//使用N来存储实节点的个数
//输入N
N=scanfN();
double *P=scanfP(&N);//存储实节点概率;下标[1,N]
double *Q=scanfQ(&N);//存储虚节点概率;下标[0,N]
//申请W表与C表,关于W表与C表详情请看main函数下面的文字描述
double **W=getW(&N);
double **C=getW(&N);
int **S=getS(&N);
Optimal_BST(P,Q,W,C,S,&N);//最优二叉树求解
PrintResult(W,C,S,&N);
return 0;
程序实例与分析
/*
q0 p1 q1 p2 q2 p3 q3 p4 q4 p5 q5 p6 q6
0.06 0.04 0.08 0.09 0.1 0.08 0.07 0.02 0.05 0.12 0.05 0.14 0.1
W表:
例如W[1][4]:代表从p1 <-> p4:0.06+0.04+0.08+0.09+0.1+0.08+0.07+0.02+0.05
W[][]利用动态规划思想递归式：
W[i][j]=W[i][j-1]+P[j]+Q[j]
C表存储子树的搜索成本
C[i][j]=min C[i][k-1]+C[k+1][j]+W[i][j]
i<=k<=j
C[i][j]:代表实节点为P[i,j]的子树情况,故要在i<=k<=j之间选择代价最小的一个根节点
C[i][k-1]：为左子树代价
C[K+1][j]: 为右子树代价
W[i][j]: 为整棵树代价
那么代价不是加重复了吗?
没错，你想对了?我们要的就是重复的效果，为什么呢?
我们可以看一个简单的二叉搜索树:
0 5 二叉搜索树的搜索成本:
/ \\ 实节点:(节点深度+1)*概率
1 e 9 虚节点:(节点深度)*概率
/ \\
2 e 12
/ \\
3 e 15
这么以看，就是需要重复着加起来，才能满足要求
计算公式:
n n
累加 (depth(S[i])+1)*P[i] + 累加 depth(E[i])*Q[i]
i=1 i=0
程序样例
6
CIN P Array:
0.04 0.09 0.08 0.02 0.12 0.14
P[]:
0.04 0.09 0.08 0.02 0.12 0.14
CIN Q Array
0.06 0.08 0.1 0.07 0.05 0.05 0.1
Q[]:
0.06 0.08 0.1 0.07 0.05 0.05 0.1
_________________________________________
W[][]:
0.06 0.18 0.37 0.52 0.59 0.76 1
0 0.08 0.27 0.42 0.49 0.66 0.9
0 0 0.1 0.25 0.32 0.49 0.73
0 0 0 0.07 0.14 0.31 0.55
0 0 0 0 0.05 0.22 0.46
0 0 0 6.95294e-310 0 0.05 0.29
0 0 0 0 0 0 0.1
_________________________________________
C[][]:
0 0.18 0.55 0.95 1.23 1.76 2.52
0 0 0.27 0.67 0.9 1.38 2.09
0 0 0 0.25 0.46 0.94 1.48
3.59837e-013 3.50594e+064 1.7113e+059 0 0.14 0.45 0.98
0 0 0 0 0 0.22 0.68
0 0 0 0 0 0 0.29
0 0 0 0 0 0 0
_________________________________________
S[][]:
0 1 2 2 2 3 5
0 0 2 2 3 3 5
0 0 0 3 3 3 5
0 0 0 0 4 5 5
0 0 0 0 0 5 6
0 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 0 0 0
//构造最优解
_________________________________________
S[][]:
0 1 2 3 4 5 6
_________________________________________________
1|0 1 2 2 2 3 5
2|0 0 2 2 3 3 5
3|0 0 0 3 3 3 5
4|0 0 0 0 4 5 5
5|0 0 0 0 0 5 6
6|0 0 0 0 0 0 6
7|0 0 0 0 0 0 0
//从S数组内可以构造最优解
先看S[1][6]左上角,即5
则1-6规模树，根为5
5
/ \\
1 2 3 4 6
S[1][4]=2
5
/ \\
2 6
/\\
1 34
S[3][4]=3
5
/ \\
2 6
/\\
1 3
\\
4
则最优搜索二叉树为
5
/ \\
2 6
/\\以上是关于动态规划之最优搜索二叉树(2021/3/13)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章