动态规划在字符串比对中的应用

Posted 2021-04-18 教你写算法

今天的题目是这样的，说给了两个字符串s和t，求解s的subsequence到底有几种可以构成t的方法。

例如s = rabbbit, t = rabbit。这里就是三种

s = babgbag, t = bag。这里是五种。

常规解法：

首先需要一个指针b指向t的首字母，然后在s里面找到b指针所指的字母，移动b指针，依次类推。这种方法很好理解，但是实现起来很麻烦，时间复杂度达到了O(m²n)。

Dynamic Programming：

我们拿第二个例子进行举例说明。

首先当s = b，t = b的时候，很明显答案是1。扩大一下s，s = ba，t = b的时候，答案还是1。于是我们可以得到下面这个表格

接下来，我们继续扩大s。

然后我们扩大t。

最后我们可以写出整个的表格为：

这里我要解释一下表格的第二排和第二列。如果当s和t均为空的时候很明显答案是1。如果当s为空，t为非空的时候，很明显答案是0。如果当t为空s非空的时候答案很明显也是1。

通过观察表格，我们可以发现，当s[j] = t[i]的时候，table[i][j] = table[i-1][j-1] + table[i][j-1]。当s[j] != t[i]的时候，table[i][j] = table[i][j-1]。

不等的情况很好理解就不做概述了。等于的情况我在这里解释一下，我们已知“bab”里面含有两个b，含有一个ba，然后我要在后面加上一个a问含有几个ba。因为已经含有两个b了所以答案是原来的1个ba再加上新出现2个ba，答案是3。

理解了通项公式，代码就不难写出了。

时间复杂度和空间复杂度均为O(mn)。