动态规划回溯搜索分治算法分支限界算法
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动态规划、回溯搜索、分治算法、分支限界算法
作为常用的四类算法，他们之间也有着紧密的联系：
分治法和动态规划法：二者都要求原问题具有最优子结构性质，都将原问题分成若干个子问题，然后将子问题的解合并，形成原问题的解。
回溯法和分支限界法：一种在问题的解空间树上搜索问题解的算法。
现在我来给大家仔细介绍它们吧！
01
动态规划
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，它把多阶段过程转化为一系列单阶段问题逐个求解是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。
基本思想：动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解，但分冶法得到的子问题过多，而动态规划能保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，这也是其一大优势。
基本定理和基本方程
基本定理通常略述为：不论过去的状态和决策如何，对于前面的决策形成的当前的状态而言，余下的各个决策必定构成最优策略。
根据基本定理的推论可以得到动态规划的基本方程：
egin{cases}f_k(x_k)=optleft{varphi(v_k(x_k,u_k),f_{k+1}(x_{k+1})) ight},x_{k+1}=T_k(x_k,u_k),k=1,2,cdots,n \ f_{n+1}(x_{n+1})=delta(x_{n+1})end{cases}(1)
基本方程在动态规划中起着更为本质的作用。
02
回溯算法
概念:回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。可以理解为：
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
它适用于解一些组合数较大的问题，有着可见回溯法有“通用解题方法”的美称。
基本思想
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
1、针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。
2、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。
3、以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
4、确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
——回溯算法解决问题的一般步骤
03
分支限界法
分枝界限法能够使用在混合整数规划问题上，其为一种系统化的解法，以一般线性规划之单形法解得最佳解后，将非整数值之决策变量分割成为最接近的两个整数，分列条件，加入原问题中，形成两个子问题(或分枝)分别求解，如此便可求得目标函数值的上限（上界）或下限（下界），从其中寻得最佳解。 ——概念
基
本
思
想
对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集（称为分支），并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界（称为定界）。在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。这一过程一直进行到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。因此这种算法一般可以求得最优解。
分枝限界法的步骤
一：如果问题的目标为最小化，则设定目前最优解的值Z=∞；
二：根据分枝法则（Branching rule），从尚未被洞悉（Fathomed）节点（局部解）中选择一个节点，并在此节点的下一阶层中分为几个新的节点；
三：计算每一个新分枝出来的节点的下限值（Lower bound，LB）；
四：对每一节点进行洞悉条件测试，若节点满足以下任意一个条件，则此节点可洞悉而不再被考虑；
五：判断是否仍有尚未被洞悉的节点，如果有，则进行步骤二，如果已无尚未被洞悉的节点，则演算停止，并得到最优解。
04
分治算法
分治算法是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。即一种分目标完成程序算法，简单问题可用二分法完成。
基本思想
某些问题处理的数据相当多，或求解过程相当复杂，使得直接求解法在时间上相当长，或者根本无法直接求出，我们往往先把它分解成几个子问题，找到求出这几个子问题的解法后，再找到合适的方法，把它们组合成求整个问题的解法。
解题的一般步骤：
（1）分解，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；
（2）求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；
（3）合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。
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图文:赵龙
排版：何思洋
审核：胡晚晴
贴士
以上是关于动态规划回溯搜索分治算法分支限界算法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
六中常用算法设计：穷举法分治法动态规划贪心法回溯法和分支限界法