学习之DP问题动态规划（DP）之数组问题

Posted 2021-04-18 品品茶叶

先复习一下DP问题的两个特点：最优子结构和重复子问题。

思考：如何在o（n）的空间复杂度下完成dp的问题。

在本博文中，将总结6个题，题目如下：

1，unique paths和unique paths II

2，minimum path sum

3，Maximum Subarray 和Maximum product Subarray

4，triangle

1，unique paths和unique paths II

（1）先看一下unique paths这个题，我们假设我们已知点（i，j）之前的所有的通路，那么到达改点的道路有几条呢？从题中我们知道，从某一点只能向右或向下走一步，因此，只有（i-1，j）和（i，j-1）这两个点可以到达（i，j），故到达该点的路径也就是到达（i-1，j）和（i，j-1）两点的路径之和，用式子表示为：

dp[i][j]=dp[i][j-1] + dp[i-1][j];////dp[i][j]表示到达点（i，j）的路径条数

（2）再看一下unique paths II。这个题对（1）做了升级，在道路中设置了障碍，但是根本上还是一样的，只不过在考虑到达（i，j）的路径时，需要考虑

（i，j）是否是障碍，则式子做如下改变：

if （i，j）是障碍

  dp[i][j]=0；

else

  dp[i][j]=dp[i][j-1] + dp[i-1][j];

只贴一题的代码，（2）的代码如下：

int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
       if( obstacleGrid.size()<1 ) return 0;
       if( obstacleGrid[0].size()<1 ) return 0;
       int m=obstacleGrid.size();
       int n=obstacleGrid[0].size();
       vector<vector<int>> dp;
       int i,j;
       for( i=0;i<m;i++ )
       {
           vector<int> temp_dp(n,0);
           dp.push_back(temp_dp);
       }//dp初始化为0的数组
       if( !obstacleGrid[0][0] ) dp[0][0]=1;
       for( i=0;i<m;i++ )
       {
           for( j=0;j<n;j++ )
           {
               if( j==0 && i==0 ) continue;
               if( obstacleGrid[i][j] ) continue;
               if( i==0 )
               {
                   dp[i][j]=dp[i][j-1];
               }
               else if( j==0 )
               {
                   dp[i][j]=dp[i-1][j];
               }
               else
               {
                   dp[i][j]=dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
               }
           }
       }
       return dp[m-1][n-1];
   }

2，minimum path sum

这个题和1题算是类似的题了，同样我们考虑到达以（i，j）为终点的路径，如何从分别以（i-1，j）和（i，j-1）为终点的两条路径中选择一条路径来到达（i，j）点，根据题意，需要这条路径上和最大，因此我们要选择和最大的路径，故递推式如下：

dp_sum[i][j]=min(dp_sum[i-1][j],dp_sum[i][j-1])+grid[i][j];

其中dp_sum[i][j]表示以（i，j）为终点的路径上所有数字的和。

代码如下：

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
       if( grid.size()==0 ) return 0;
       int h=grid.size(),w=grid[0].size();
       vector<int> temp(w,0);
       vector<vector<int>> dp_sum(h,temp);
       int i,j;
       for( i=0;i<h;i++ )
       {
           for( j=0;j<w;j++ )
           {
               if( i==0 && j>0 )
               {
                   dp_sum[i][j]=dp_sum[i][j-1]+grid[i][j];
               }
               else if( j==0 && i>0 )
               {
                   dp_sum[i][j]=dp_sum[i-1][j]+grid[i][j];
               }
               else if( i>0 && j>0 )
               {
                   dp_sum[i][j]=min(dp_sum[i-1][j],dp_sum[i][j-1])+grid[i][j];
               }
               else
               {
                   dp_sum[0][0]=grid[0][0];
               }
           }
       }
       return dp_sum[h-1][w-1];
   }

3，Maximum Subarray 和Maximum product Subarray

（1）该题让我们在数组nums中寻找一组连续的数seq，使该组数的和最大，为了方便得到nums中任意区间的连续数的和，首先获得数组nums的累计和的数组sums，其中sums[i]=sums[i-1]+nums[i]，sums[i]的含义是数组nums中从0到i的数字的和。那么任意区间的一组数的和seq（i，j）=sums[j]-sums[i]。为使seq最大，一方面我们可以找到sums[j]的最大值，另一方面要在0到j中找到sums[i]的最小值即可。

其实该题中用到的一些的dp的思想的就是求累加和。

（2）该题和（1）是类似的，同样我们可以得到数组nums的累积pros：pros[i]=pros[i-1]*nums[i]。任意一个区间的连续数的乘机为：seq（i，j）=pros[j]/pros[i]。该题复杂在需要考虑数组中正数、0、负数三种情况下综合后的seq（i，j）的最大值，具体分析见代码：

int maxProduct(vector<int>& nums) {
       vector<int> dp(nums.size()+1,1);
       if( nums.size()==0 ) return 0;
       if( nums.size()==1 ) return nums[0];
       int i;
       for( i=0;i<nums.size();i++ )
       {
           if( nums[i] )
               dp[i+1]=dp[i]*nums[i];
       }
       for( i=0;i<nums.size();i++ )
       {
           if( nums[i]==0 )
               dp[i+1]=0;
       }
       int max_pro=dp[1];
       int min_pro=0;
       for( i=0;i<nums.size();i++ )
       {
         
           if( dp[i+1] > 0)
           {//对于正数情况，除数最小为1即可
               int temp_max=dp[i+1];
               if( temp_max>max_pro )
                   max_pro=temp_max;
           }
          else if(dp[i+1]==0)
           {
               max_pro=max(0,max_pro);
               min_pro=0;
           }
           else
           {//对于负数情况，除数是在0到j中最大的那个负数
               if( min_pro==0 )
               {
                   min_pro=dp[i+1];
                   continue;
               }
               int temp_max=dp[i+1]/min_pro;
               if( temp_max>max_pro )
                   max_pro=temp_max;
               if( min_pro<dp[i+1] )
                   min_pro=dp[i+1];
           }
         
       }
       return max_pro;
   }

代码中红色的3个部分，就是分别考虑了正数、0、负数的情况。

4，triangle

这个题和minimum path sum这题差不多，就是把一个矩阵换成了金字塔，题中提示了要用o（n）的空间，这样应该是大部分DP的题（不需要输出解空间的题）都可以优化的：只记录上一次的结果，因此也就不难，下一步就是找到最优子结构和重复子问题了，如下方程：

if( j==0 ) dp[j]=dp[j]+triangle[i][j];
else if( j==triangle[i].size()-1 ) dp[j]=dp[j-1]+triangle[i][j];
else dp[j]=triangle[i][j]+min(dp[j-1],dp[j]);

代码如下：

int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        vector<int> dp(triangle.size(),0);
        if( triangle.size()==0 ) return 0;
        dp[0]=triangle[0][0];
        for( int i=1;i<triangle.size();i++ )
        {
            for( int j=triangle[i].size()-1;j>=0;j-- )
            {//dp[i]的状态和dp[i-1]相关，因此在循环时需要逆循环。
                if( j==0 ) dp[j]=dp[j]+triangle[i][j];
 else if( j==triangle[i].size()-1 ) dp[j]=dp[j-1]+triangle[i][j];
 else
 {
 dp[j]=triangle[i][j]+min(dp[j-1],dp[j]);
 }
            }
        }
        for( int i=1;i<dp.size();i++ )
        {
            if( dp[i]<dp[0] ) dp[0]=dp[i];
        }
        return dp[0];
    }