用 Excel 做点无聊的题 —— “动态规划” 入门理解（上）

Posted 2021-04-18 杨氏在线教学

大家好！上一周我们发布了教学体系改革的想法，得到了各位朋友的热情反馈。我们已经将这四十多条意见和建议保存并归类，作为下一步工作的重要参考。这里再次感谢大家对我们的理解和支持！

课程间歇期，学习不能停。所以这段时间我们仍然跟以前一样，每周继续更新Python和VBA的技巧与知识。而今天要介绍的，就是与上次“迭代和递归”密切相关的重要算法思想 —— “动态规划” 的入门概念。

很多同学都听说过动态规划，或者曾经在大学里学习过这门课程。不过今天不讲那么专业的内容，只是用我们最熟悉的Excel 、VBA 和 Python，通过几个简单的案例，来了解一下动态规划到底是什么、怎样用它解决实际问题。

先看一个同学今天在Q群里提出的问题：如果有10级台阶，一个人每次可以迈一阶或者两阶，那么从第1阶走到第10阶，一共有多少种走法？

对于这个问题，初学者第一次看到时肯定找不到头绪，一行代码也写不出来。不过别紧张，回忆一下中学时的数学课堂，相信很多人的老师都告诉过我们：如果没有思路，就先列出几个“特例”，然后肉眼观察出规律，就能写成公式。

所以咱们就先用熟悉的Excel，列几个特例出来。比如：一共只有一级台阶时有几种走法、一共有两级台阶时，以及三级和四级台阶时各有几种走法。这几种特例情况因为比较简单，所以拿张纸画一画就能推出答案。比如只有两个台阶时，我们可以选择从地面开始一级级走上去（也就是 0-1-2 ，0 代表地面），也可以选择从地面直接踏上第二级（也就是 0-2 ），所以这种情况下有两种解法。

接下来观察以下上面的表格：随着台阶数量的增加，走法数量也在不断增加，形成了1、2、3、5 这个数列。那么这个数列有没有什么规律呢？

 

那么问题来了：为什么3级台阶时的走法数量，正好等于1级台阶和2级台阶时走法数量之和呢？仔细想想就会发现，既然每步只能迈上1或2个台阶，因此想登上第三级台阶，一共只有两种方式：或者从第二级迈上来，或者从第一级迈上来（一步迈两阶）。而之前已经算出来，走到第二级有2种走法，所以 “先走到第二级、再一步迈到第三级” 这种方式也就有2种走法。

同样，前面也算出来走到第一级共有1种走法，所以“先走到第一级，然后一步迈到第三级”这种方式也只有1种走法。

因此，走到第三级的两种方式加在一起，就是 2+1=3 种走法。

同理，如果一共有4个台阶，那么迈上第四个台阶也有两种方式：先走到第三级台阶、然后一步迈上来，或者先走到第二级台阶、然后一步跨两层迈上来。

而刚刚我们计算过，走到第三级台阶有3种走法、走到第二级台阶有2种走法，所以两种方式加在一起一共是5种走法。

如此类推，我们会轻易算出任何一级台阶的走法数量。比如走到第五级台阶也只有两种方式：从第四级迈上来或从第三级直接迈上来。而走到第四级有5种走法、第三级有3种走法，所以登上第五级的走法共有8种 ……

看到这里，规律已经很明显，以至于我们完全可以不编写任何程序，直接用Excel 公式就得到答案。比如在下面的表格内，只要填写好台阶数量为1和2时的步数（1和2），下面各行都可以用公式表达为前两行数字之和，就能得到任意情况的答案：

从上表中，我们可以更加清晰的看到这个规律：如果想计算走到第 i 阶有多少种走法，只需将其“前一阶走法的总数”与“前两阶的走法总数”相加就可以。

既然这么简单，当然也就可以写成程序代码！不过怎么写呢？多少还要用到一点小技巧。不过考虑到本文较长、阅读不易，我们把全文拆成两篇，明天（不是下周）继续讲给大家。

觉得好看就点个在看吧

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