递归？这次真不行 —— “动态规划” 入门理解（下）

Posted 2021-04-18 杨氏在线教学

书接前文：昨天我们发布了《“动态规划” 入门理解（上）》，说到用Excel 的公式就可以把“台阶走法问题”的解决过程清晰表达出来。

说起来这个规律也确实很简单：如果想知道“5级台阶”有多少种走法，只要把“4级台阶”和“3级台阶”的走法加起来就可以。显然，把这个规律写成程序应该也十分简单。比如下面就是用Python和VBA两种代码计算 “踏上第10级台阶” 的示例。为了方便大家理解，我们用中文给变量命名。

VBA解决方案：

Python解决方案：

 

上面代码中有一个地方可能会让同学感到一点困惑，就是在每次循环中计算完第 i 阶走法后，要对 “前一阶总数” 和 “前两阶总数” 两个变量重新赋值。

这是因为在计算完第i阶后，我们接下来就要计算第 i+1 阶；而对于第 i+1 阶来说，它的前一阶就是第 i 阶，而其前两阶则是指第 i 阶的前一阶。因此为了准备下一次运算，每次都要重新定义“前X阶”。

具体来讲：第一次循环时i=3，也就是说我们要计算踏上第3阶共有几种走法。而此时它的“前两阶”是第1阶，“前一阶”则是第2阶。所以在循环中将这两个走法总数加在一起，就是第3阶的走法总数 3 。

接下来，在下一次循环时 i=4，也就是要计算第4阶有多少种走法，而第4阶的走法是它的前一阶和前两阶之和。那么第4阶的前一阶和前两阶是谁呢？是第3阶和第2阶！

换句话说，本来在i=3时，第2阶是“前一阶”；然而到了i=4时，第2阶就只能退位变成了“前两阶”，而第3阶则新人上位变成了新的“前一阶”。

因此在计算第4阶之前，我们必须先调整“前两阶走法总数”和“前一阶走法总数”两个变量，使他们代表第2阶和第3阶的数值。这就是每次循环中执行变量替换的原因。

而至于第1阶的走法嘛，在i=4时已经没有用处，所以早已完成历史使命，直接被拍在沙滩上、抛弃掉了。

程序编好了。但是这与动态规划有什么关系呢？

别着急，我们再回来看看这个解法的规律。如果用 “走法数量(n)” 代表走到第 n 个台阶的走法总数，那么写成公式后看起来是不是觉得有些眼熟呢？

走法数量(n)=走法数量(n-1)+走法数量(n-2)

我想凡是学完《全民一起玩Python 提高篇》第46回“递归算法”的同学，应该都会有对此有印象：这不就是本节作业第4题“斐波那契数列”嘛？

既然如此，当然本题也可以使用递归来解决，比如下面的程序一样能够算出走到10阶的走法总数：

不过把这种递归方法跟我们之前的代码放在一起比较，我们就会发现二者的区别：

虽然这两者都是把“求第N个台阶”的问题，化解为“求第N-1台阶和第N-2台阶”两个子问题，但是仔细思考会发现：在递归算法下，很多子问题都会被重复计算很多次！

比如当执行到 “steps(5)”，也就是求解走到第5级有多少种走法时：

1. 递归程序要求计算 steps(3)和 steps(4)，也就是第3级和第4级的走法；

2. 于是程序进入递归，去计算steps(3) ；

3. 等计算完steps(3) 之后，回来计算steps(4)

4. 而在计算steps(4) 的过程中，递归函数又要求计算steps(3)和 steps(2) 。

于是我们看到：仅在这个过程中，steps(3) 就被重复计算了两次！再想一想递归恐怖的层层树形展开，如果计算steps(10)，不知有多少子问题被反复计算。

所以对于这个问题，使用递归虽然代码简单，但运算效率却会极其低下。低到什么程度呢？杨老师刚刚在自己电脑上做了一个试验，求解第40级台阶花去了整整20秒的时间。

然而使用前面迭代式的写法呢？看一眼代码就会发现，第3阶走法、第4阶走法、第5阶走法 …… 所有这些子问题都只计算过一遍！显然，这会比递归算法中的大量重复运算快很多。

事实也是如此。同样在杨老师的电脑上做实验，使用这种迭代方法，即使计算第 400 级台阶也只是一眨眼的事情，完全感觉不到运行时间：

所以这一次，递归真不行，真正实用的方案还是前面这种从第3台阶开始逐层迭代的方法。而总结一下，这种迭代方法的特点是：

（1） 把求取第 N 项数值的问题，变换为“求取前面若干项数值”这种“子问题”；

（2） 逐次计算子问题，从而推导出第 N 项；

（3） 在推导过程中，每个子问题只计算一遍。

那么现在就可以揭开谜底了：符合上面这几个特点的算法，就是基本的“动态规划”。

 

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