409,动态规划求不同路径

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问题描述



一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。


机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。


问总共有多少条不同的路径?

409,动态规划求不同路径

例如,上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径?


示例 1:

输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下

2. 向右 -> 向下 -> 向右

3. 向下 -> 向右 -> 向右


示例 2:

输入: m = 7, n = 3

输出: 28


提示:

  • 1 <= m, n <= 100

  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9


动态规划解决



注意这里机器人只能向下和向右移动,不能往其他方向移动,我们用dp[i][j]表示到坐标(i,j)这个格内有多少条不同的路径,所以最终的答案就是求dp[m-1][n-1]。


因为只能从上面或左边走过来,所以递推公式是

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
dp[i-1][j]表示的是从上面走过来的路径条数。

dp[i][j-1]表示的是从左边走过来的路径条数。

409,动态规划求不同路径

那么边界条件是什么呢,如果Finish在第一行的任何位置都只有一条路径,同理Finish在第一列的任何位置也都只有一条路径,所以边界条件是第一行和第一列都是1。我们已经找到了递推公式,又找到了边界条件,所以动态规划代码很容易写出来,我们来看下

 1public int uniquePaths(int m, int n) {
2    int[][] dp = new int[m][n];
3    //第一列都是1
4    for (int i = 0; i mi++) {
5        dp[i][0] = 1;
6    }
7    //第一行都是1
8    for (int i = 0; i < ni++) {
9        dp[0][i] = 1;
10    }
11
12    //这里是递推公式
13    for (int i = 1; i < mi++)
14        for (int j = 1; j < nj++)
15            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
16    return dp[m - 1][n - 1];
17}
18


动态规划优化



我们看上面二维数组的递推公式,当前坐标的值只和左边与上面的值有关,和其他的无关,这样二维数组造成大量的空间浪费,所以我们可以把它改为一维数组

1public int uniquePaths(int m, int n) {
2    int[] dp = new int[m];
3    Arrays.fill(dp, 1);
4    for (int j = 1; j < n; j++)
5        for (int i = 1; i < m; i++)
6            dp[i] += dp[i - 1];
7    return dp[m - 1];
8}

这里的dp[i]+=dp[i-1];实际上就是dp[i]=dp[i]+dp[i-1],我们可以这样理解,上面的网格我们是一行一行计算的,dp[i]也就是上面红色的表示的是当前位置上面的值,dp[i-1]表示的是当前位置左边的值。


递归方式



这题除了动态规划以外,还可以把上面的动态规划改为递归的方式

 1public int uniquePaths(int m, int n) {
2    return uniquePathsHelper(11, m, n);
3}
4
5//第i行第j列到第m行第n列共有多少种路径
6public int uniquePathsHelper(int i, int j, int m, int n) {
7    //边界条件的判断
8    if (i > m || j > n)
9        return 0;
10    if ((i == m && j == n))
11        return 1;
12    //从右边走有多少条路径
13    int right = uniquePathsHelper(i + 1, j, m, n);
14    //从下边走有多少条路径
15    int down = uniquePathsHelper(i, j + 1, m, n);
16    //返回总的路径
17    return right + down;
18}

代码中有注释,很容易理解,但其实这种效率很差,因为他包含了大量的重复计算,我们画个图来看一下。

409,动态规划求不同路径

我们看到上面图中红色,黑色,还有那种什么颜色的都表示重复的计算,所以有一种方式就是把计算过的值使用一个map存储起来,用的时候先查看是否计算过,如果计算过就直接拿来用,看下代码

 1public int uniquePaths(int m, int n) {
2    return uniquePathsHelper(11, m, n, new HashMap<>());
3}
4
5public int uniquePathsHelper(int i, int j, int m, int n, Map<String, Integer> map) {
6    if (i > m || j > n)
7        return 0;
8    if ((i == m && j == n))
9        return 1;
10    String key = i + "*" + j;
11    if (map.containsKey(key))
12        return map.get(key);
13    int right = uniquePathsHelper(i + 1, j, m, n, map);
14    int down = uniquePathsHelper(i, j + 1, m, n, map);
15    int totla = right + down;
16    map.put(key, totla);
17    return totla;
18}

使用公式计算



我们要想到达终点,需要往下走n-1步,往右走m-1步,总共需要走n+m-2步。他无论往右走还是往下走他的总的步数是不会变的。也就相当于总共要走n+m-2步,往右走m-1步总共有多少种走法,很明显这就是一个排列组合问题,公式如下

409,动态规划求不同路径

排列组合的计算公式如下

409,动态规划求不同路径

公式为(m+n-2)! / [(m-1)! * (n-1)!]


代码如下

1public int uniquePaths(int m, int n) {
2    int N = n + m - 2;
3    double res = 1;
4    for (int i = 1; i < m; i++)
5        res = res * (N - (m - 1) + i) / i;
6    return (int) res;
7}


总结



这题使用动态规划是最容易理解也是最容易解决的,当然后面的递归和公式计算也能解决。




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