算法题407：动态规划和滑动窗口解决最长重复子数组

Posted 2021-04-18 算法爱好者

（给算法爱好者加星标，修炼编程内功）

来源：山大王wld

问题描述

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

A: [1,2,3,2,1]

B: [3,2,1,4,7]

输出：3

解释：

长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

提示：

1 <= len(A), len(B) <= 1000

0 <= A[i], B[i] < 100

动态规划

这题一看就知道其实就是求最长公共子串问题，只不过换了种说法，换汤不换药，本质还是没变。我们就以题中的示例画个图来看一下

最长的公共子数组就是上面红色所对应的[3,2,1]，长度是3。

递推公式是

if(s1.charAt(i) == s2.charAr(j)) dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;else dp[i][j] = 0;

有了递推公式，代码就容易多了，我们来看下完整代码

 1public int findLength(int[] A, int[] B) {
 2    int max = 0;
 3    int[][] dp = new int[A.length + 1][B.length + 1];
 4    for (int i = 1; i <= A.length; i++) {
 5        for (int j = 1; j <= B.length; j++) {
 6            if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
 7                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 8                max = Math.max(max, dp[i][j]);
 9            }
10        }
11    }
12    return max;
13}
14

这里的二维数组dp长和宽都要加1是为了减少判断，当然也可以不加1，但这样会多了一些边界的判断，我们来看下不加1的代码

 1public int findLength(int[] A, int[] B) {
 2    int max = 0;
 3    int[][] dp = new int[A.length][B.length];
 4    for (int i = 0; i < A.length; i++) {
 5        for (int j = 0; j < B.length; j++) {
 6            if (A[i] == B[j]) {
 7                if (i > 0 && j > 0)
 8                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
 9                else
10                    dp[i][j] = 1;
11                max = Math.max(max, dp[i][j]);
12            }
13        }
14    }
15    return max;
16}

我们还可以把二维数组改为一维数组来减少空间复杂度

 1public int findLength(int[] A, int[] B) {
 2    int max = 0;
 3    int[] dp = new int[B.length + 1];
 4    for (int i = 1; i <= A.length; i++) {
 5        for (int j = B.length; j >= 1; j--) {
 6            if (A[i - 1] == B[j - 1])
 7                dp[j] = dp[j - 1] + 1;
 8            else
 9                dp[j] = 0;
10            max = Math.max(max, dp[j]);
11        }
12    }
13    return max;
14}

注意这里第二个for循环是从后往前遍历的，这是因为dp后面的值会依赖前面的值，但前面的值不会依赖后面的值，如果我们改变后面的值对前面的值不会有影响，但改变前面的值会影响面的值，所以这里我们从后往前计算是最合适的。

滑动窗口

第2种方式是滑动窗口，文字叙述不好理解，我们就以[1, 2, 3, 2, 1]和[3,2,1,4]为例来举例说明，这两个数组我故意弄成两个长度不一样的，我们画个图来看一下

相当于说第一个数组位置不动，第二个数组每次往右移一位，搞懂了上的分析过程，代码就容易多了，我们来看下

 1public int findLength(int[] A, int[] B) {
 2    if (A.length < B.length)
 3        return findLengthHelper(A, B);
 4    return findLengthHelper(B, A);
 5}
 6
 7public int findLengthHelper(int[] A, int[] B) {
 8    int aLength = A.length, bLength = B.length;
 9    //total是总共运行的次数
10    int total = aLength + bLength - 1;
11    int max = 0;
12    for (int i = 0; i < total; i++) {
13        //下面一大坨主要判断数组A和数组B比较的起始位置和比较的长度
14        int aStart = 0;
15        int bStart = 0;
16        int len = 0;
17        if (i < aLength) {
18            aStart = aLength - i - 1;
19            bStart = 0;
20            len = i + 1;
21        } else {
22            aStart = 0;
23            bStart = i - aLength + 1;
24            len = Math.min(bLength - bStart, aLength);
25        }
26        int maxlen = maxLength(A, B, aStart, bStart, len);
27        max = Math.max(max, maxlen);
28    }
29    return max;
30}
31
32//计算A和B在上面图中红色框内的最大长度
33public int maxLength(int[] A, int[] B, int aStart, int bStart, int len) {
34    int max = 0, count = 0;
35    for (int i = 0; i < len; i++) {
36        if (A[aStart + i] == B[bStart + i]) {
37            count++;
38            max = Math.max(max, count);
39        } else {
40            count = 0;
41        }
42    }
43    return max;
44}

总结

其实这道题求的就是最长公共子串问题，通过上面的图分析，可以发现第一种方式和第二种方式都比较好理解，但第一种方式代码明显比第二种少了很多。

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