深度优先生成树和广度优先生成树（详解版）

Posted 2021-04-11 编程大师

前面已经给大家介绍了有关生成树和生成森林的有关知识，本节来解决对于给定的无向图，如何构建它们相对应的生成树或者生成森林。

其实在对无向图进行遍历的时候，遍历过程中所经历过的图中的顶点和边的组合，就是图的生成树或者生成森林。

图 1 无向图
 

例如，图 1 中的无向图是由 V1～V7 的顶点和编号分别为 a～i 的边组成。当使用深度优先搜索算法时，假设 V1 作为遍历的起始点，涉及到的顶点和边的遍历顺序为（不唯一）：

此种遍历顺序构建的生成树为：

图 2 深度优先生成树

由深度优先搜索得到的树为深度优先生成树。同理，广度优先搜索生成的树为广度优先生成树，图 1 无向图以顶点 V1 为起始点进行广度优先搜索遍历得到的树，如图 3 所示：

图 3 广度优先生成树

非连通图的生成森林

非连通图在进行遍历时，实则是对非连通图中每个连通分量分别进行遍历，在遍历过程经过的每个顶点和边，就构成了每个连通分量的生成树。

非连通图中，多个连通分量构成的多个生成树为非连通图的生成森林。

深度优先生成森林

图 4 深度优先生成森林

例如，对图 4 中的非连通图 （a） 采用深度优先搜索算法遍历时，得到的深度优先生成森林（由 3 个深度优先生成树构成）如 （b） 所示（不唯一）。

非连通图在遍历生成森林时，可以采用孩子兄弟表示法将森林转化为一整棵二叉树进行存储。

具体实现的代码：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_VERtEX_NUM 20 //顶点的最大个数#define VRType int //表示顶点之间的关系的变量类型#define VertexType int //图中顶点的数据类型typedef enum{false,true}bool; //定义bool型常量bool visited[MAX_VERtEX_NUM]; //设置全局数组，记录标记顶点是否被访问过typedef struct { VRType adj; //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值。}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];typedef struct { VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM]; //存储图中顶点数据 AdjMatrix arcs; //二维数组，记录顶点之间的关系 int vexnum,arcnum; //记录图的顶点数和弧（边）数}MGraph;//孩子兄弟表示法的链表结点结构typedef struct CSNode{ VertexType data; struct CSNode * lchild;//孩子结点 struct CSNode * nextsibling;//兄弟结点}*CSTree,CSNode;//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置int LocateVex(MGraph G,VertexType v){ int i=0; //遍历一维数组，找到变量v for (; i<G.vexnum; i++) { if (G.vexs[i]==v) { break; } } //如果找不到，输出提示语句，返回-1 if (i>G.vexnum) { printf("no such vertex.
"); return -1; } return i;}//构造无向图void CreateDN(MGraph *G){ scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum)); getchar(); for (int i=0; i<G->vexnum; i++) { scanf("%d",&(G->vexs[i])); } for (int i=0; i<G->vexnum; i++) { for (int j=0; j<G->vexnum; j++) { G->arcs[i][j].adj=0; } } for (int i=0; i<G->arcnum; i++) { int v1,v2; scanf("%d,%d",&v1,&v2); int n=LocateVex(*G, v1); int m=LocateVex(*G, v2); if (m==-1 ||n==-1) { printf("no this vertex
"); return; } G->arcs[n][m].adj=1; G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称 }}int FirstAdjVex(MGraph G,int v){ //查找与数组下标为v的顶点之间有边的顶点，返回它在数组中的下标 for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){ if( G.arcs[v][i].adj ){ return i; } } return -1;}int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w){ //从前一个访问位置w的下一个位置开始，查找之间有边的顶点 for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){ if(G.arcs[v][i].adj){ return i; } } return -1;}void DFSTree(MGraph G,int v,CSTree*T){ //将正在访问的该顶点的标志位设为true visited[v]=true; bool first=true; CSTree q=NULL; //依次遍历该顶点的所有邻接点 for (int w=FirstAdjVex(G, v); w>=0; w=NextAdjVex(G, v, w)) { //如果该临界点标志位为false，说明还未访问 if (!visited[w]) { //为该邻接点初始化为结点 CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode)); p->data=G.vexs[w]; p->lchild=NULL; p->nextsibling=NULL; //该结点的第一个邻接点作为孩子结点，其它邻接点作为孩子结点的兄弟结点 if (first) { (*T)->lchild=p; first=false; } //否则，为兄弟结点 else{ q->nextsibling=p; } q=p; //以当前访问的顶点为树根，继续访问其邻接点 DFSTree(G, w, &q); } }}//深度优先搜索生成森林并转化为二叉树void DFSForest(MGraph G,CSTree *T){ (*T)=NULL; //每个顶点的标记为初始化为false for (int v=0; v<G.vexnum; v++) { visited[v]=false; } CSTree q=NULL; //遍历每个顶点作为初始点，建立深度优先生成树 for (int v=0; v<G.vexnum; v++) { //如果该顶点的标记位为false，证明未访问过 if (!(visited[v])) { //新建一个结点，表示该顶点 CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode)); p->data=G.vexs[v]; p->lchild=NULL; p->nextsibling=NULL; //如果树未空，则该顶点作为树的树根 if (!(*T)) { (*T)=p;  } //该顶点作为树根的兄弟结点 else{ q->nextsibling=p; } //每次都要把q指针指向新的结点，为下次添加结点做铺垫 q=p; //以该结点为起始点，构建深度优先生成树 DFSTree(G,v,&p); } }}//前序遍历二叉树void PreOrderTraverse(CSTree T){ if (T) { printf("%d ",T->data); PreOrderTraverse(T->lchild); PreOrderTraverse(T->nextsibling); } return;}int main() { MGraph G;//建立一个图的变量 CreateDN(&G);//初始化图 CSTree T; DFSForest(G, &T); PreOrderTraverse(T); return 0;}

运行程序，拿图 4（a）中的非连通图为例，构建的深度优先生成森林，使用孩子兄弟表示法表示为：

图5 孩子兄弟表示法表示深度优先生成森林

图中，3 种颜色的树各代表一棵深度优先生成树，使用孩子兄弟表示法表示，也就是将三棵树的树根相连，第一棵树的树根作为整棵树的树根。

运行结果

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广度优先生成森林

非连通图采用广度优先搜索算法进行遍历时，经过的顶点以及边的集合为该图的广度优先生成森林。

拿图 4（a）中的非连通图为例，通过广度优先搜索得到的广度优先生成森林用孩子兄弟表示法为：

图6 广度优先生成森林（孩子兄弟表示法）

实现代码为：

 
   
   
 

  
    
    
  
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
  
  
    
    
  
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_VERtEX_NUM 20 //顶点的最大个数#define VRType int //表示顶点之间的关系的变量类型#define InfoType char //存储弧或者边额外信息的指针变量类型#define VertexType int //图中顶点的数据类型typedef enum{false,true}bool; //定义bool型常量bool visited[MAX_VERtEX_NUM]; //设置全局数组，记录标记顶点是否被访问过typedef struct { VRType adj; //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值。 InfoType * info; //弧或边额外含有的信息指针}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];typedef struct { VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM]; //存储图中顶点数据 AdjMatrix arcs; //二维数组，记录顶点之间的关系 int vexnum,arcnum; //记录图的顶点数和弧（边）数}MGraph;typedef struct CSNode{ VertexType data; struct CSNode * lchild;//孩子结点 struct CSNode * nextsibling;//兄弟结点}*CSTree,CSNode;typedef struct Queue{ CSTree data;//队列中存放的为树结点 struct Queue * next;}Queue;//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置int LocateVex(MGraph * G,VertexType v){ int i=0; //遍历一维数组，找到变量v for (; i<G->vexnum; i++) { if (G->vexs[i]==v) { break; } } //如果找不到，输出提示语句，返回-1 if (i>G->vexnum) { printf("no such vertex.
"); return -1; } return i;}//构造无向图void CreateDN(MGraph *G){ scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum)); for (int i=0; i<G->vexnum; i++) { scanf("%d",&(G->vexs[i])); } for (int i=0; i<G->vexnum; i++) { for (int j=0; j<G->vexnum; j++) { G->arcs[i][j].adj=0; G->arcs[i][j].info=NULL; } } for (int i=0; i<G->arcnum; i++) { int v1,v2; scanf("%d,%d",&v1,&v2); int n=LocateVex(G, v1); int m=LocateVex(G, v2); if (m==-1 ||n==-1) { printf("no this vertex
"); return; } G->arcs[n][m].adj=1; G->arcs[m][n].adj=1;//无向图的二阶矩阵沿主对角线对称 }}int FirstAdjVex(MGraph G,int v){ //查找与数组下标为v的顶点之间有边的顶点，返回它在数组中的下标 for(int i = 0; i<G.vexnum; i++){ if( G.arcs[v][i].adj ){ return i; } } return -1;}int NextAdjVex(MGraph G,int v,int w){ //从前一个访问位置w的下一个位置开始，查找之间有边的顶点 for(int i = w+1; i<G.vexnum; i++){ if(G.arcs[v][i].adj){ return i; } } return -1;}//初始化队列void InitQueue(Queue ** Q){ (*Q)=(Queue*)malloc(sizeof(Queue)); (*Q)->next=NULL;}//结点v进队列void EnQueue(Queue **Q,CSTree T){ Queue * element=(Queue*)malloc(sizeof(Queue)); element->data=T; element->next=NULL;  Queue * temp=(*Q); while (temp->next!=NULL) { temp=temp->next; } temp->next=element;}//队头元素出队列void DeQueue(Queue **Q,CSTree *u){ (*u)=(*Q)->next->data; (*Q)->next=(*Q)->next->next;}//判断队列是否为空bool QueueEmpty(Queue *Q){ if (Q->next==NULL) { return true; } return false;}void BFSTree(MGraph G,int v,CSTree*T){ CSTree q=NULL; Queue * Q; InitQueue(&Q); //根结点入队 EnQueue(&Q, (*T)); //当队列为空时，证明遍历完成 while (!QueueEmpty(Q)) { bool first=true; //队列首个结点出队 DeQueue(&Q,&q); //判断结点中的数据在数组中的具体位置 int v=LocateVex(&G,q->data); //已经访问过的更改其标志位 visited[v]=true; //遍历以出队结点为起始点的所有邻接点 for (int w=FirstAdjVex(G,v); w>=0; w=NextAdjVex(G,v, w)) { //标志位为false，证明未遍历过 if (!visited[w]) { //新建一个结点 p，存放当前遍历的顶点 CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode)); p->data=G.vexs[w]; p->lchild=NULL; p->nextsibling=NULL; //当前结点入队 EnQueue(&Q, p); //更改标志位 visited[w]=true; //如果是出队顶点的第一个邻接点，设置p结点为其左孩子 if (first) { q->lchild=p; first=false; } //否则设置其为兄弟结点 else{ q->nextsibling=p; } q=p; } } }}//广度优先搜索生成森林并转化为二叉树void BFSForest(MGraph G,CSTree *T){ (*T)=NULL; //每个顶点的标记为初始化为false for (int v=0; v<G.vexnum; v++) { visited[v]=false; } CSTree q=NULL; //遍历图中所有的顶点 for (int v=0; v<G.vexnum; v++) { //如果该顶点的标记位为false，证明未访问过 if (!(visited[v])) { //新建一个结点，表示该顶点 CSTree p=(CSTree)malloc(sizeof(CSNode)); p->data=G.vexs[v]; p->lchild=NULL; p->nextsibling=NULL; //如果树未空，则该顶点作为树的树根 if (!(*T)) { (*T)=p; } //该顶点作为树根的兄弟结点 else{ q->nextsibling=p; } //每次都要把q指针指向新的结点，为下次添加结点做铺垫 q=p; //以该结点为起始点，构建广度优先生成树 BFSTree(G,v,&p); } }}//前序遍历二叉树void PreOrderTraverse(CSTree T){ if (T) { printf("%d ",T->data); PreOrderTraverse(T->lchild); PreOrderTraverse(T->nextsibling); } return;}int main() { MGraph G;//建立一个图的变量 CreateDN(&G);//初始化图 CSTree T; BFSForest(G, &T); PreOrderTraverse(T); return 0;}
 
   
   
 
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