[二分查找] 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

Posted 2021-04-10 热爱生活的小熊猫

 二分查找系列专题   LeetCode34

1 题目描述

给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。

如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。

示例:

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]

输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

2 题解

这道题算是二分查找里面的经典题目了，如果考虑使用二分查找大致有三种思路：

2.1 一次二分

这个方法比较naive，思路如下：

• 对nums做一次二分查找，如果nums中不存在target则返回[-1, -1]；
• 如果nums中存在target，其位置为i，分别从i的左边和右边线性查询找到左右边界。

这个方法在最好的情况下时间复杂度为 ，在最差的情况下时间复杂度将退化成 ，不推荐。

2.1 两次二分

相比于一次二分，这个方法的时间复杂度更稳定，思路也很清晰：

• 改进二分查找，在[0, nums.size() - 1]搜索左边界；如果发现target不在nums中，返回[-1, -1];
• 改进二分查找，在[left, nums.size() - 1]搜索右边界，返回结果

当然，这个方法把二分的思想运用到了极致，里面有无数意想不到的边界情况。在一番面向AC编程之后，我的代码AC了（可能仍然有测试样例没考虑到的bug）：

class Solution {
public:
    vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> ret(2, -1);
        if (nums.size() == 0) return ret;
        
        // 在[0, nums.size() - 1]中寻找左边界
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] >= target) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }
        // 边界情况：如果在nums中没有target直接返回[-1,-1]
        if (left == nums.size() || nums[left] != target) return ret;
        ret[0] = left;
		
        // 在[left, nums.size() - 1]中寻找右边界
        right = nums.size() - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
            else right = mid - 1;
        }
        // 考虑另一种边界情况：nums最后一位也是target
        ret[1] = nums[left] == target ? left : left - 1;
        return ret;
    }
};

2.3 多次二分

这个方法可以算作在方法1的基础上进行优化的版本，其整体思路和时间复杂度与方法2类似，思路为：

• 首先用经典的二分查找查询target是否在nums中，如果找不到target直接返回[-1, -1]；
• 假设二分找到的target下标为i，在[0, i - 1]中进行二分查找，找到左边界；
• 在[i + 1, nums.size() - 1]中进行二分查找，找到右边界；返回结果。

感谢鸭鸭提供的代码：

// 一次二分找到target的位置
int findTargetIndex(vector<int> arr, int target, int left, int right)
{
    if (arr.size() == 0)
        return -1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) return mid;
        else if (arr[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid - 1;
    }
    return -1;
}

vector<int> searchRange2(vector<int> &nums, int target)
{
    vector<int> res(2, -1);
    if (nums.size() == 0) return res;
    int index = findTargetIndex(nums, target, 0, nums.size() - 1);
    // 如果nums中不存在target，直接返回[-1,-1]
    if (index == -1) return res;
    
    int left = index - 1, right = index + 1;
    // 二分查找左边界
    while (left >= 0 && nums[left] == target)
    {
        left = findTargetIndex(nums, target, 0, left);
        left = left - 1;
    }
    // 二分查找右边界
    while (right < nums.size() && nums[right] == target)
    {
        right = findTargetIndex(nums, target, right, nums.size() - 1);
        right = right + 1;
    }
    res[0] = min(index, left + 1);
    res[1] = max(index, right - 1);
    return res;
}

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