算法笔记-3：完美完全完满的二叉树分别是啥？

Posted 2021-04-09 汽车人的编程小屋

        上期的最后，我们提到了完全n-树的概念（来自《离散数学结构》）。

图1-完全n-树的概念

        我在写二叉堆笔记的时候，知道了二叉堆是一棵完全二叉树，但是我以为这里的完全二元树就是完全二叉树。

        但后来我发现有点不对，堆结构要求新加入的元素在最大层从左至右排列，直到占满该层后才能新增一层。

图2-典型的堆结构

        显然，堆结构可能会出现最后一个节点是某个节点的唯一子节点的情况。而完全二元树要求每个节点若有子节点，那么必须要有两个；对于是不是每层空间都利用上了，都占满了；还有最后一层是不是从左到右紧密排列的，这些都不关心。

        如下也是一棵完全二元树：

  图3-典型的完全二元树结构

        这可真是神奇，二叉树虽然是二元树，但是完全二元树并不等价于完全二叉树？

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        后来我找了一篇文章，解答了我的疑惑。

完美二叉树, 完全二叉树和完满二叉树

https://blog.csdn.net/qq_22642239/article/details/80774013

        在计算机科学领域，为了适应计算机本身的特性。在树结构的基础上提出了一些扩展概念，其中包括二叉树/二杈树。二叉树除了是一棵二元树之外，还要求其明确左右子节点。也就是说，二叉树是一棵有序二元树。

        接下来的就是本期的重点了

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一、完美二叉树(Perfect Binary Tree)

图4-完美二叉树

        一棵高度为k（≥0），有2^(k+1)-1个节点的二叉树被称为完美二叉树。从图像上来看，完美二杈树的每一层都充满了节点。因此也有人把它叫满二叉树。但你必须要分清楚，满二叉树不是指完满二叉树，而是指完美二叉树；它代表种树过程中的一种理想情况。

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二、完全二叉树(Complete Binary Tree)

图5-完全二叉树

        如果从根节点到倒数第二层都符合完美二叉树的要求，最后一层可以不充满，但是所有叶子节点向左靠齐，那么就是一棵完全二叉树。

        叶子向左靠齐，这样就能保证新节点有序地加入，且占满了最后一层才开启下一层。

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三、完满二叉树(Full Binary Tree)

        

图6-完满二叉树

        完满二叉树所有非叶子节点都有两个子节点。这就与完全二元树的定义一致了。

        我不清楚是谁规定的，反正就是这么规定了……

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图7-三树PK

        比较三种类型的树，我们不难发现：

        1、完美二叉树是另外两者的理想情况。一棵完美二叉树，必定是完全的和完满的，但反过来就不一定成立。

        2、完全二叉树可能是完满的，也可能不是完满的，反过来说也是如此。

        

        如果实在记不住三种树，那么至少要记住完全二叉树是什么。因为下期要介绍的二叉堆概念就与之密切相关。有什么问题欢迎在留言区里提问哦！